Математическое моделирование кинематических свойств и управление динамикой систем с программными связями

Широкое внедрение робототехники в различные отрасли науки и производства, развитие космических технологий, транспортных систем и их применение в быту объясняет интерес исследователей к задачам управления движением механических систем. К моделям управляемых механических систем можно отнести роботы-манипуляторы [75, 91], мобильные роботы [44, 94], космические объекты [18] и т. п. Одним из эффективных методов исследования таких систем является математическое моделирование.

В настоящее время никакое определение не может в полном объёме охватить реально существующую деятельность по математическому моделированию. Это связано с большими успехами в применении и признании метода математического моделирования во всех отраслях современной науки и техники. В работе Б. Я. Советова и С. А. Яковлева [84] под математическим моделированием понимается процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. А. А. Самарский отмечает незаменимость математического моделирования для решения важнейших проблем научно-технического и социально-экономического прогресса, подчеркивает значение математического моделирования как методологии разработки наукоемких технологий и изделий. В работе [80] дается определение математической модели как «эквивалента» объекта, отражающего в математической форме важнейшие его свойства — законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, итак далее.

Большинство возникающих задач исследования механических систем можно свести к двум взаимосвязанным научным проблемам — моделированию кинематики и динамики систем и управлению их движением. Основные результаты исследований по моделированиюпроцессов кинематики и динамики механических систем относятся, к голономным и неголономным системам, описываемым уравнениями Лагранжа второго рода. Основные виды дифференциальных уравнений динамики неголономных систем были получены в работах [5, 14, 73, 90]. Задачам управления движением механической системы посвящено множество работ, особое (место среди которых занимают исследования ученых А. С. Галиуллина, В. И. Зубова, П. Д. Крутько, И. А. Мухаметзянова, Р. Г. Мухарлямова и др. [1, 7, 19, 31, 33, 38, 50, 66, 67, 100]. Методы построения уравнений движения управляемых механических систем изложены в [91, 93, 95]. Исследованию динамики управляемых систем, программа движения которых задается неголономными связями, посвящены работы [25, 64, 69, 99, 101].

Уравнения динамики механической системы описывают все действительные движения этой системы, не выделяя при этом непосредственно устойчивые или неустойчивые. В связи с этим в аналитической динамике появилось новое направление исследований, а именно: установление устойчивости илинеустойчивости того или иного движения механической системы и построение устойчивых механических систем. Такого рода исследованиями занимались многие механики и математики всего мира. Трудами Н. Е. Жуковского, А. М: Ляпунова, А. Пуанкаре были созданы основные методы современной теории устойчивости [40, 45, 96]. Рассмотренные В. И. Зубовым [32, 34] методы решения проблемы устойчивости управляемого движения основаны на использовании динамических и кинематических характеристик управляемых механических систем. Эти методы применяются, в частности, для решения проблемы устойчивости многообразий. Теория устойчивости неголономных систем рассматривается в работе Ю. И. Неймарка и Н. А. Фуфаева [73]. В работе А. С. Галиуллина [15] приведены возможные постановки задач по исследованию устойчивости движения механических систем, изложены основы метода характеристичных чисел и метода функций Ляпунова, рассмотрены-приемы аналитическогопостроения устойчивых систем.

Созданный' первоначально как метод анализа устойчивости движения систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, метод функций Ляпунова нашел затем* более обширную сферу применения. В настоящее время" он является основным строгим методом* анализа разнообразных динамических свойств нелинейных систем самой различной природы и формы описания: При этом наряду с вопросами качественного исследования, имеющими целью установление условий наличия или отсутствия изучаемого динамического свойства нелинейной системы, эффективно решаются, задачи получения количественных оценок показателей, характеризующих динамику систем, а применительно к управляемым системам — задачи синтеза систем с требуемымжсвойствам" [45]. В работах [46, 48, 49, 53, 59, 62, 66, 79, 85] с использованием второго" метода Ляпунова сформулированы достаточные условия устойчивости, асимптотической устойчивости программных многообразий, условия, устойчивости на конечном интервале времени, условия" абсолютной устойчивости и устойчивости по части переменных для, механических систем, движение которых описывается дифференциальными уравнениями первого порядка.

В задачах моделирования кинематики и динамики механических систем получил широкое распространение предложенный Н. П: Еругиным [29] метод построения множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую на плоскости [4, 15, 51, 53, 58, 61]. В частности, в работе [61] рассмотрена задача построения множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданные интегральные многообразия, методом, предложенным в [29], и определена конструкция систем дифференциальных уравнений из условия устойчивости этих многообразий. В работе [51] построена автономная* система дифференциальных уравнений по заданному распределению фазовых траекторий на плоскости, определены, коэффициенты, предусмотренные в конструкции системы, исходя-из вида интегральных кривых и особых точек. Изложенный в [51] метод построения динамических систем эффективно используется для программирования движения управляемых механических систем [65, 68].

Под программным движением механической системы понимается движение с заданными кинематическими свойствами. Совокупность> заранее заданных свойств, подлежащих сохранению в. процессе движения механической системы, составляет программу движения. Задачей управления является, обеспечение движение механической-системы согласно ее программе. Возможные постановки задач построенияуравнений программных движений, соответствующие методырешения этих задач и различные приложения8 получили существенное развитие в трудах А. С. Галиуллина и его последователей [15, 17, 18, 50, 61, 64,. 55, 57]. В частности, в [15] рассматриваются механические системы, движения' которых описываются* обыкновенными* дифференциальными уравнениями. В этом случае задача-аналитического построения, систем программного движения* сводится1 к обратным задачам динамики, поставленным с дополнительным требованием устойчивости программы, движения в смысле Ляпунова (при наличии лишь начального возмущения). Такая1 трактовка задачи позволяет свести ее решение к построению соответствующих уравнений движения системы по заданным интегралам, отражающим заданные свойства (программу) движения* рассматриваемой системы. При этом необходимо обеспечить устойчивость интегралов уравнений движения. В работе [66] устанавливается связь между решением задачи управления программным движением механической системы и задачей построения систем дифференциальных уравнений первого порядка, частные интегралы которой известны.

Для решения задач моделирования динамики неголономных систем используются известные классические методы, основанные на предположении о том, что уравнения связей, наложенные на систему, выполняются как в начальный момент движения, так и при всем последующем движении. Такие методы не позволяют учитывать возможные отклонения! от уравнений связей. Поэтому при моделировании динамики механических систем необходимым условием существования требуемого программного движения является стабилизация связей. Под задачей стабилизации понимается задача выбора управлений, под воздействием которых все движения рассматриваемой системы из начальной окрестности программного движения-попадут в другую, более узкую, окрестность этого движения и в дальнейшем ее не покидают. Проблемы построения уравнений программного движения и стабилизации связей излагаются в [15, 50, 64, 71, 83, 95, 99, 101]. В частности, в [99] для стабилизации связей учитываются отклонения от уравнений связей и вводится соответствующая коррекциям правые части уравнений динамики. Уравнения программных связей, уравнений возмущений связей, рассмотренные в [64], гарантируют асимптотическую устойчивость и стабилизацию связей при численном решении.

Многие задачи теоретического и прикладного" характера, связанные, в частности, с задачами механики управляемого движения, состоят в построении математических моделей в виде дифференциальных уравнений и их систем. Основная сложность заключается, как правилов интегрировании этих уравнений, что привело к развитию численных методов решения таких задач [8, 87]. В работах [59, 99, 101] предлагается численный метод решения дифференциально-алгебраических уравнений индекса-2.

В последнее время интенсивно развиваются методы автоматизации составления и решения уравнений движения. Удобные для автоматизации формы записи уравнений движения могут быть получены при использовании методов и принципов теоретической механики. Вариационные принципы механики и связанные с ними комплекс физических идей и математических методов имеют активное значение как в теоретической механике, так и в различных научных и технических проблемах [39, 74, 77]. При создании методовавтоматизированного моделирования, представляет интерес изложенный, в < работе [64]- аналитический, метод построения1 уравнений движения* основанный на вариационном принципе Даламбера-Лагранжа.

Математическое моделирование является быстро развивающейся областью науки и техники. Для ее: успешного развития важныотвечающие современным-, требованиям? методы-, решения инженерных и математических задач с использованием компьютеров— Развитие и совершенствование такой быстро развивающейся, области знания связано: с разработкой систем автоматизированного’моделирования [24]. Эти: системы реализуют множество стандартных и специальных математических операций, снабжены мощными графическими средствами и обладают собственными языками программирования. Все это? предоставляет широкие возможности: для работы исследователей и инженеров. Однако для эффективного компьютерного исследованиязадачматематического моделированиянеобходимо" оптимальное сочетание пакетов-символьных: вычислений^ и численного инструментария [24, 72]. Данным требованиям отвечает, в частности, математический пакет Maple -[3,28]. Каквидно из обзора, вопросы моделирования кинематики и динамики управляемых механических: систем являются достаточно актуальными, но недостаточно изученными. Так, напримердля программирования? движения* управляемых механических систем эффективно используется^ решение обратной4 задачи качественной: теории, дифференциальныхуравнений. В частностиприменениепредложенного в [51] методапостроения5 автономной системыдифференциальных уравнении позаданному распределению фазовых траекторий на плоскости позволяет получить уравнения неголономных связей, описывающих, кинематические свойства плоской стационарной системы. Недостаточное внимание уделено задаче моделированиякинематических свойств, нестационарных систем. Предложеннаяв данной работе: конструкция неавтономной системы, дифференциальных уравнений в многомерном пространстве, полученная из условия устойчивости заданного интегрального многообразия, помогает найти решение этой задачи. Разработанный аналитический метод построения уравнений движения в обобщенных координатах и в канонических переменных удобен для решения задач автоматизации управления динамикой систем с программными связями. Актуальность предложенных методов обусловлена также тем, что они применимы к широкому классу систем.

Объект исследования. Динамические системы, на которые наложены голономные и неголономные программные связи.

Предмет исследования. Математическое моделирование кинематических свойств и управление динамикой систем с программными связями.

Цель диссертации. Разработка методов и алгоритмов моделирования кинематических свойств и управления динамикой систем с программными связями.

Задачи исследования.

1. Разработать метод построения уравнений нестационарных дифференциальных связей, описывающих заданные кинематические свойства механической системы.

2. Разработать метод построения уравнений динамики систем с программными связями в форме Лагранжа, Гамильтона на основе интегрального вариационного принципа Гамильтона-Остроградского.

3. Определить условия стабилизации связей, определяющих программное изменение свойств фазового состояния механических систем.

4. Разработать метод определения управляющих воздействий на механическую систему, обеспечивающих стабилизацию связей.

5. Определить выражения управляющих сил, действующих на манипуляционную систему с целью обеспечения движения конца схвата манипулятора в соответствии с заданной программой.

6. Построить математическую модель управляемого мобильного робота, используя разработанные методы.

Методы исследования. В диссертации использовались такие классические методы исследования как анализ, синтез, обобщение, аналогия, а также методы классической и аналитической механики, методы качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости движения, численные методы и методы компьютерной алгебры.

Научная новизна. Разработан метод построения неавтономной системы дифференциальных уравнений с заданными свойствами решений. Определена конструкция неавтономной системы из условия устойчивости ее решений по отношению к множествам решений. Разработан метод построения уравнений динамики в форме Лагранжа, Гамильтона для систем с голономными и неголономными программными связями, используя интегральный вариационный принцип Гамильтона-Остроградского. Определены условия стабилизации связей, определяющих программное движение механической системы. Разработан метод определения управляющих воздействий на механическую манипуляционную систему, обеспечивающих устойчивость программного движения. Разработан алгоритм моделирования управляемого мобильного робота, обеспечивающий устойчивость численного решения уравнений динамики. Решена задача управления движением мобильного робота с обходом подвижных препятствий.

Достоверность результатов. Достоверность полученных в диссертации результатов основана на строгих математических доказательствах.

Практическая значимость. Результаты диссертационной работы могут быть использованы при исследовании устойчивости движения несвободных механических систем аналитическими и численными методами, в механике управляемого движения, при решении задач управления роботами-манипуляторами, мобильными роботами, транспортными и космическими системами.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались:

— на XLIII — XLV Всероссийских научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики, химии (Москва, Российский университет дружбы народов, 2007 — 2009 г. г.);

— на VI молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения-2007» (Казань, Казанский государственный университет, 2007 г.);

— на заседании восьмого Всероссийского семинара по аналитической механике, устойчивости и управлению движением (Казань, Казанский государственный технический университет им. А. Н. Туполева, 2008 г.);

— на Всероссийской научно-практической конференции «Инновации и высокие технологии XXI века» (Нижнекамск, Нижнекамский химико-технологический институт, 2009 г.).

Степень личного участия. Основные результаты, представленные в диссертации, получены самостоятельно.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Ибушева, О. В. Программирование движения управляемых механических систем / О. В. Ибушева, Р. Г. Мухарлямов // Тезисы докладов XLI.

Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии. — М.: Изд-во РУДН, 2005. — С. 41−42.,.

2. Ибушева, О. В. Обратные задачи качественной теории дифференциальных уравнений нестационарных систем / О. В. Ибушева // Тезисы докладов XLII Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии. — М.: Изд-во РУДН, 2006. — С. 64.

3. Ибушева, О.В. О построении системы дифференциальных уравнений по заданным интегралам / О. В. Ибушева // Тезисы докладов XLIII Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии. — М.: Изд-во РУДН, 2007. — С. 21.

4. Ибушева, О.В. О построении неавтономной системы дифференциальных уравнений, имеющей заданное интегральное многообразие / О. В. Ибушева // Актуальные проблемы современной науки: Труды 3-го Международного форума (8-ой международной конференции молодых ученых и студентов). — Самара: Изд-во СамГТУ, 2007.-С. 33−36.

5. Ибушева, О. В'. Определение структуры нестационарных систем дифференциальных уравнений, имеющих заданные частные интегралы / О. В. Ибушева' // Материалы Шестой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения — 2007». — Казань: Издательство Казанского математического общества Казан, гос. ун-та, 2007. — С. 88−90.

6. Ибушева, О.В. О построении неавтономной системы дифференциальных уравнений по заданной совокупности частных интегралов / О. В. Ибушева // Вестник РУДН, сер. Математика. Информатика: Физика. — 2008. — № 1. -С. 5−11.

7. Ибушева, О.В. О построении уравнений динамики механических систем с программными связями / О. В. Ибушева // Тезисы докладов XLIV Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии. — М.: Изд-во РУДН, 2008. — С. 29−30.

8. Ибушева, О.В. О построении уравнений программного движения механических систем / О. В. Ибушева // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Тезисы, докладовX. Международного семинара: — М.: Изд-во ИПУ РАН, 2008. — С. 117−119. 9- Ибушева, О-В. Построение неавтономной системы, дифференциальных уравнений по заданной совокупности частных интегралов, в многомерном пространстве / О. В1 Ибушева, P. Г. Мухарлямов // Учен: зап. Казан, ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. — 2008.-Т. 150.-Кн. 3. С. 133−139. Ю. Ибушева,' О.В. О-построении уравнений-:динамики систем с программными связями в форме Гамильтона7 О. ВИбушева// Материалы Всероссийского' семинара по аналитической механике, устойчивости и управлению движением. — Казань: КГТУ им. А. Н. Туполева, 2008; - С. 124−125.

11.Ибушева, О. В. Математическое моделирование динамики механических систем с заданными кинематическими? свойствами / О. В. Ибушева // Материалы Всероссийской научно-практической конференции «Инновации ивысокие, технологии XXI века». — Нижнекамск: Нижнекамский, химико-технологический институт (филиал) КГТУ, 2009. — Т. 1. — С. 174−178.

12.Ибушева, ОЛЗ: Управление1 движением* колесной системы с обходом препятствий / О. ВИбушева // Тезисы докладов XLV Всероссийской конференции по. проблемамматематики, информатики, физики и химии. — М.: Изд-во РУДН, 2009. — С. 71−72.

13-Ибушева, О. В. Построение уравнений динамики систем с программными связями в канонических переменных / О. В. Ибушева // Вестник КГТУ им: А. Н. Туполева. — 2009. — № 2. -С. 67−70.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитированной литературы. Объем диссертационной работы составляет 114 страниц, работа содержит 24 рисунка, список литературы насчитывает 101 наименование.

Заключение

.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

1. Определена структура неавтономной системы дифференциальных уравнений первого порядка по интегральным многообразиям, которая используется для построения уравнений нестационарных дифференциальных связей, описывающих заданные кинематические свойства механической системы.

2. Разработан метод построения уравнений динамики систем с программными связями в форме уравнений Лагранжа, Гамильтона на основе интегрального вариационного принципа Гамильтона-Остроградского.

3. Разработан алгоритм определения управляющих воздействий на механическую систему, обеспечивающих стабилизацию голономных и неголономных связей, задающих классы траекторий.

4. Решена задача управления динамикой неголономной системы, совершающей движение с обходом препятствий в соответствии с заданной программой.

5. Проведено моделирование движения мобильного робота с обходом подвижных препятствий.