Теорема Рэлея и равенство Парсеваля

Приняв в фломуле (2.36) значение частоты со = 0, приходим к выводу известной в математике теоремы {обобщенной формулы) Рэлея^[1] для сигналов.

Здесь учтено соотношение (2.32), согласно которому //(—со) = Н*(со). Легко запоминающаяся трактовка формулы (2.37) такова: скалярное произведение двух непрерывных сигналов с точностью до коэффициента 1/(2тг) пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей. Формула Рэлея относится к классу обобщенных функций и обладает важным положением, касающимся спектральных свойств ряда неинтегрируемых сигналов.

При f (t) = h (t) = u (t) из теоремы Рэлея вытекает равенство Парсеваля^[2]

6. Умножение сигнала на гармоническую функцию. Умножим исходный непрерывный сигнал u (t)> спектральная плотность S (со) которого известна, на гармоническую функцию единичной амплитуды (для упрощения примем начальную фазу гармонического сигнала равной нулю): f (t) = u (t)cos ($₀L

Посмотрим, что произошло со спектром при таком преобразовании:

Итак, спектр исходного сигнала при его умножении на гармоническую функцию «раздвоился» — распался на два слагаемых вдвое меньшего уровня, чем исходный (½ перед каждым из слагаемых), смещенных на частоту сигнала ±со₀ соответственно влево (со — со₀) и вправо (со + со₀) по оси частот. Несложно показать, что если в гармоническом сигнале имеется начальная фаза ср₀, то при нервом слагаемом в формуле (2.39) будет множитель e^j%, а при втором — е

• [1] Джон Рэлей (J. Rayleigh, 1842—1919) — британский физик и механик.
• [2] Марк-Антуан Парссваль (Marc-Antoine Parseval dcs Chenes, 1755—1836) — французскийматематик.