Устойчивость арок кругового очертания

Рассмотрим вначале двухшарнирную арку (рис. 12.4), охватывающую центральный угол 2а. Примем выражение для прогиба в виде.

где / = 2Ra — длина средней линии.

Подставим выражение (12.15) в уравнение (12.11) и получим.

Рис. 12.4. Круговая арка под действием радиальной нагрузки.

Число полуволн т определим из условия, что полная длина осевой линии остается неизменной. Деформации средней линии равны.

где v — перемещение вдоль дуги. Второй член в этом выражении учитывает укорочение дуги по рис. 12.3. Полагая е_(/ = 0, найдем.

Оба конца стержня останутся неподвижными при условии.

Наименьшее число т, при котором выполняется равенство (12.19), будет равно т= 2. Критическая нагрузка оказывается равной.

Форма потери устойчивости будет кососимметричной, как показано на рис. 12.4 штриховой линией. Из равенства (12.20) можно получить формулу (12.14) для кольца, если положить, а = п/2.

Определение критических нагрузок для арок с другим количеством шарниров несколько сложнее. Наиболее полно эти вычисления представлены в одной из ранних работ академика А. Н. Динника¹, который, используя дифференциальные уравнения Кирхгофа для плоской деформации, получил приведенные ниже результаты. Например, для бесшарнирной арки при тех же условиях, что и выше, получено трансцендентное уравнение устойчивости для кососимметричной формы потери устойчивости:

где по-прежнему т — число полуволн. Определенное из уравнения (12.21) значение т подставляется в выражение.

' ДинникА. Н. Устойчивость арок. М.; Л.: ОГИЗ, 1946.

Для практических целей можно пользоваться окончательными формулами (12.22) и (12.23):

Значение коэффициента К в зависимости от угла, а приведено в табл. 12.1, а значение коэффициента К₁ в зависимости от отношения стрелы подъема арки к ее пролету — в табл. 12.2.

Таблица 12.1

Зависимость коэффициента К от угла а.

Таблица 12.2

Зависимость коэффициента К_х от отношения стрелы подъема арки к ее пролету.

Упражнение 12.1. Определите критическую нагрузку для круговой трехшарнирной арки при 2а = 60° и сравните с критической силой, полученной для этой же арки, но табл. 12.2.