Порядок фактической погрешности времени жизни решения относительно шага h по сетке времени
Приближенное решение оказывается весьма точной оценкой точного решения до того момента по времени, пока мы не оказываемся вблизи, вблизи же оно уже достаточно сильно отличается от точного решения. Величина h, как и ожидалось, напрямую влияет на точность получаемой оценки времени жизни решения: чем меньше h, тем ближе оценка к реальному значению. Ситуация с M не такая однозначная: с одной стороны… Читать ещё >
Порядок фактической погрешности времени жизни решения относительно шага h по сетке времени (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Попытаемся оценить порядок x в уравнении.
Составим пропорцию:
;
;
;
;
log (1.5/0.4)/log (0.25/0.05)=0.8 212 531.
log (0.4/0.0225)/log (0.05/0.0025)=0.9 606 831.
log (1.5/0.0225)/log (0.25/0.0025)=0.9 119 544.
log (0.004/1.5)/log (0.0005/0.25)=0.9 537 087.
Посчитав х для нескольких значений из таблицы выше, получаем близкие к 1 значения, что соответствует порядку метода Эйлера.
Заключение
Далеко не всегда для дифференциального уравнения можно получить точное решение и точное время жизни данного решения. В таких случаях приходится прибегать к численным методам для поиска приближенного решения поставленной задачи. Данная работа позволяет нам понять, насколько эффективно численные методы могут оценивать как само решение уравнения, так и время жизни решения, а также выявить зависимость точности приближения от шага сетки (h) по времени и от момента остановки работы итерационного цикла (M).
Приближенное решение оказывается весьма точной оценкой точного решения до того момента по времени, пока мы не оказываемся вблизи, вблизи же оно уже достаточно сильно отличается от точного решения. Величина h, как и ожидалось, напрямую влияет на точность получаемой оценки времени жизни решения: чем меньше h, тем ближе оценка к реальному значению. Ситуация с M не такая однозначная: с одной стороны, маленькое значение M не даст смоделировать ситуацию blow-up, с другой стороны, для больших значений M и погрешность оценки времени жизни решения оказывается больше, так как решения успевают «разойтись» дальше друг от друга. Для реального прогнозирования ситуаций blow-up стоит брать большое значение M, теряя в точности оценки. Сделать оценку более точной поможет меньшее значение h.
При сравнении метода Эйлера и метода Рунге-Кутты гораздо лучше показал себя метод Рунге-Кутты. Количество операций в нем оказывается больше, но зато погрешность времени жизни решений становится значительно меньше, что является более важным критерием при выборе метода. Полученные фактические значения погрешности времени жизни в целом совпадают с теоретическими, что можно считать подтверждением работоспособности программы.