Эмпирические распределения случайной величины

Пусть все попадают в полуинтервал, который делится на k равных полуинтервалов длиной;. (предполагается, что «чуть» меньше или равно, а «чуть» больше или равно, так что некоторые из попадают как в 1-й, так и в последний из этих k полуинтервалов).

общий размах вариации.

оптимальное соотношение между k и N (формула Стерджесса).

l -й полуинтервал ,.

где.

.

доля общего количества наблюдений N, попавших в l-й полуинтервал — частоты, эмпирические оценки вероятностей попадания в данный полуинтервал;

;

центры полуинтервалов;

накопленные частоты (эмпирические вероятности, с которыми значения величины в выборке не превышают x_l):

;

эмпирические плотности распределения вероятности.

среднеарифметическое значение;

медиана, здесь l-й полуинтервал является медианным, т. е. ;

моменты q-го порядка;

a-й (a100-процентный) квантиль, т. е. значение величины, которое не превышается в выборке с вероятностью a; здесь l-й полуинтервал является квантильным, т. е. (являются квантилями с);

среднее по той (нижней) части выборки, которая выделяется a-м квантилем (l-й полуинтервал также квантильный).

Среди квантилей особое значение имеют те, которые делят выборку на равные части (иногда именно эти величины называют квартилями):

медиана;

квартили;

децили;

процентили.

децильный размах вариации (может быть также квартильным или процентильным);

децильный коэффициент вариации (может быть медианным, квартильным или процентильным).

мода, т. е. наиболее вероятное значение величины в выборке; здесь l-й полуинтервал является модальным, f_l на нем достигает максимума; если этот максимум единственный, то распределение величины называется унимодальным; если максимума два — бимодальным; в общем случае — при нескольких максимумах — полимодальным.

Гистограмма — эмпирическая (интервальная) функция плотности распределения; имеет ступенчатую форму: на l-м полуинтервале (l=1,…, k) принимает значение f_l;

Полигон — функция, график которой образован отрезками, соединяющими точки .

Гистограмма и полигон могут строиться непосредственно по весам w_l, если (как в данном случае) все полуинтервалы имеют одинаковую длину.

Кумулята — эмпирическая (интервальная) функция распределения вероятности, график которой образован отрезками, соединяющими точки .

Огива — то же, что и кумулята, или (в традициях советской статистики) функция, обратная кумуляте.