Введение. 
Математическая модель системы управления

На данный момент развитие универсальных средств для решения различных математических задач достигло такого уровня, что исчезает необходимость в самостоятельной реализации множества базовых методов и разнообразных алгоритмов.

Так как математические пакеты в большинстве своем не охватывают всех аспектов проблемы конструирования, необходимо концентрироваться на разработке особых средств, которые ориентированы на конкретную предметную область, а именно на теорию управления. Для исследования систем одними из самых важных факторов являются удобство решения задачи и разнообразие доступных методов.

В теории управления существует несколько методов описания изменений системы и конструирования оптимальных регуляторов, с использованием квадратичного критерия качества — методы вход-выходных соотношений и методы пространства состояний.

Методы пространства состояний удобны в использовании при решении множества задач по конструированию оптимальных регуляторов для линейных стационарных систем. Но есть ряд задач, которые удобнее решать, если использовать вход-выходные соотношения, а также для которых не существует на сегодняшний день обычных способов решения методами пространства состояний.

Построение систем управления представляет собой многовариантную задачу. На всех этапах конструирования происходит анализ множества систем, которые отличаются друг от друга по своим характеристикам. Среди множества альтернатив отбираются один или несколько вариантов, наиболее подходящих по заданным требованиям. В существующих системах автоматизированного конструирования систем управления не уделяется должного внимания проблеме синтеза управляющих устройств с различной конфигурацией структуры. Рассмотрение множества отличных по структуре управляющих устройств позволяет найти системы, имеющие более подходящие значение показателей качества. Причем количество элементов множества позволяет проводить анализ лишь автоматизировано.

На сегодняшний день актуальной задачей является разработка программного обеспечения для конструирования систем автоматического регулирования, причем многие стороны этой задачи остаются не изученными надлежащим образом.

В теории управления исследуются разнообразные системы из всех областей жизни человека. Конструирование оптимального регулятора широко используется в задачах из области технических систем. Одной из самых распространенных является так называемая задача слежения. В ней управляемая величина воспроизводит произвольно изменяющееся задающее воздействие. Простой пример следящей системы — радиолокационная станция, которая должна сопровождать цель с неизвестным заранее законом движения.

Задача слежения напрямую связана с важной характеристикой при анализе и синтезе систем управления с обратной связью — устойчивостью. В простейшем варианте динамическая система является устойчивой, если она обладает ограниченной реакцией на ограниченное воздействие. Поэтому свойство устойчивости является основным критерием оптимальности. Замкнутую систему всегда можно однозначно определить, как (абсолютно) устойчивую или неустойчивую.

Для конструирования устойчивой системы управления необходим базовый функционал качества, который в дальнейшем будет корректироваться. Одним из наиболее простых и изученных является квадратичный функционал. Задачу построения линейно-квадратично регулятора можно решить и в пространстве состояний, и в пространстве операторов.

Особым случаем при конструировании оптимального регулятора является ситуация, когда корни передаточной функции объекта находятся на мнимой оси, т. е. система находится на границе устойчивости. В связи с этим возникают некоторые сложности, требующие дополнительных корректировок функционала качества.

В настоящей работе исследуется проблема конструирования оптимального регулятора для объекта, корни передаточной функции которого находятся на мнимой оси, при условии придания системе свойства грубости и обеспечения приемлемой степени устойчивости. Решение будет искаться в пространстве вход-выходных соотношений.