Сходимость как следствие аппроксимации и устойчивости

Основной вопрос, который возникает при практических вычислениях, — насколько полученное приближенное решение отличается от точного решения и как сделать это отклонение достаточно малым.

Предположим, что разностная схема (7.6) аппроксимирует задачу (7.5) на решении и (х) с порядком h^k и устойчива. Тогда приближенное решение и^(л) сходится к точному решению и^^е т. е. и^ - 11^|| —? 0, когда, А —" 0. В дополнение выполняется неравенство.

где константа С не зависит от А. В этом случае мы будем говорить, что имеет место сходимость порядка h^k или что разностная схема (7.6) имеет точность А-го порядка. Понятно, что чем больше значение к (выше порядок аппроксимации), тем быстрее приближенное решение стремится к точному решению по мере уменьшения шага сетки. Наличие сходимости является основным требованием, предъявляемым к разностным схемам, так как только в этом случае мы можем аппроксимировать точное решение с любой точностью, в пределах машинной арифметики, выбирая шаг h достаточно малым.

Пример 7.2 (сходимость разностной схемы первого порядка) Рассмотрим разностную схему (7.2). Как уже было показано выше, эта схема аппроксимирует дифференциальную задачу (7.1) с порядком h и устойчива, по крайней мере, при h < 0.2. Продемонстрируем сходимость этой схемы, так как точное решение дифференциальной задачи (7.1) известно. Для вычисления ||u⁽^ — и⁽" >|| мы будем использовать норму || • ||оо, т. е.

Результаты вычислений показаны в табл. 7.1.

Таблица 7.1

Эти результаты показывают, что схема первого порядка имеет довольно медленную сходимость. Например, если мы хотим вычислить приближенное решение с относительной точностью меньше чем 0.001, то мы должны выбрать шаг меньше чем 0.01. Конечно, в реальной ситуации точное решение задачи нам неизвестно. Тем не менее можно оценить сходимость через приближенные решения. Более подробно мы обсудим этот вопрос в параграфе 7.5.