Уточнение корня методом проб

Пусть дано уравнениеДх) = 0 и некоторый корень с, отделен на отрезке [а; Ь]. Обозначим bа = d (это длина отрезка). Требуется найти приближенное значение корня о с точностью до 10″ * (т.е. с погрешностью, не превышающей 10"*). Заметим, что а < о < Ь. Значит, число а можно считать приближенным значением по недостатку, а число b — с избытком. При этом абсолютная погрешность меньше, чем длина отрезка [а; Ь], т. е. меньше, чем d. Если d < 10″ *, то задача решена: числа а и b есть приближенные значения корня требуемой точности.

Не только числа а и Ь, но и любое число лг₀ из отрезка [а; Ь] можно принять за приближенное значение корня также с абсолютной погрешностью, меньшей, чем d. Удобно за приближенное значение принять середину отрезка [а; ?>, т. е. число.

Абсолютная погрешность этого приближенного числа меньше половины длины отрезка [а; Ь], т. е.

Значит, за приближенное значение корня выгоднее принять не концы отрезка [а; b], а его середину с (рис. 2.9).

Рис. 2.9. Корень уравнения и его приближения.

Если d < 10″ *, то число с есть приближенное значение корня с погрешностью, не превышающей 10"*/2 = 5 • КГ* ^- *.

Пусть теперь отрезок [а; Ь] таков, что его длина больше предельной абсолютной погрешности искомого корня, т. е. больше, чем 10″ *. Тогда путем последовательного деления отрезок, на котором отделен корень, уменьшают до тех пор, пока его длина не сделается меньше, чем заданная предельная абсолютная погрешность корня.

На практике отрезок, на котором отделен корень, делят либо пополам, либо на 10 равных частей. В первом случае говорят о методе проб с половинным делением, а во втором — о методе проб с десятичным делением.

Для программирования на ЭВМ удобен метод проб с половинным делением, а для ручного счета, в том числе и с помощью Microsoft Excel, — с десятичным.

Пример 2.2.

Найдите корень уравнения х³ — бх² + 20 = 0 на отрезке [2; 3] с точностью до 10-⁷ методом проб.

Решение

На персональном компьютере (ПК) откроем новую книгу Microsoft Excel, назовем ее «Решение уравнений» и переименуем ее первый лист так: «Метод десятичного деления». В ячейку А1 поместим символ х, в ячейку В1 — f (x). В ячейки А2—А12 поместим последовательно значения аргумента от 2 до 3 с шагом ОД. В ячейку В2 вставим формулу.

Эта формула соответствует левой части данного уравнения. Вычислим данное значение. Протянем ячейку В2 до ячейки В12. В этих ячейках получим значения функции Дх), соответствующей левой части уравнения. В ячейках А2—А12 найдем те два соседних значения аргумента, для которых значения функции, находящиеся в ячейках В2—В12, меняют знак. В данном случае это значения 2,3 и 2,4 (на рис. 2.10 эти ячейки выделены).

Далее снова в ячейку С1 поместим символ х, в ячейку Dl—f (x). В ячейки С2—С12 поместим последовательно значения аргумента от 2,3 до 2,4 с шагом 0,01. В ячейку D2 вставим формулу.

Протянем ячейку D2 до ячейки D12. В этих ячейках получим значения функции Дх), соответствующей левой части уравнения. В ячейках С2—С12 найдем те два соседних значения аргумента, для которых значения функции, находящиеся в ячейках D2—D12, меняют знак (на рис. 2.10 эти ячейки выделены).

Повторяем описанный выше процесс до тех пор, пока не получим восемь значащих цифр чисел 2,33 650 880 и 2,33 650 881, между которыми лежит значение корня данного уравнения (рис. 2.10).

Рис. 2.10. Вычисление корня уравнения х3 — бх2 + 20 = 0 на отрезке [2; 3] методом десятичного деления Округляя эти числа до 7 цифр после запятой, получаем приближенное значение корня уравнения х³ — бх² + 20 = 0 из отрезка [2; 3] с точностью до 1СГ⁷:

Читателю предлагаем найти два других значения корня уравнения х³ — бх² + 20 = 0 из отрезка [2;3] с точностью до 10~⁷ методом десятичного деления. (Ответ: ~ 2,3 365 088).