Расчетная часть. 
Динамическое программирование. 
Задача о загрузке

Расчет тестового примера

Контрольная работа содержит вопросы по N различным темам. Каждый вопрос типа i имеет вес Vi (i=1,2,…N), а также время, отводимое на ответ Wi. Максимально время, которое может затратить студент на контрольную работу W. Требуется определить максимальное количество баллов (вес), которое может набрать студент за отведенное время W=30. Данные приведены в таблице:

Решить задачу, приведя ее к рекуррентным соотношениям. Сначала рассмотрим задачу в общей постановке.

Если обозначить количество вопросов типа і через ki, то задача принимает следующий вид при ограничениях.

ki-неотрицательные числа.

Если отбросить требования целочисленности ki, то решение задачи нетрудно найти с помощью симплекс-метода. В самом деле, так как остается лишь одно ограничение, базисной будет только одна переменная, и задача сводится к выбору типа і, для которого величина viW/wi принимает максимальное значение. Исходная задача не является задачей линейного программирования, и для ее решения необходимо использовать метод динамического программирования. Следует отметить, что рассматриваемая задача может быть также решена с помощью методов целочисленного программирования. Каждый из трех основных элементов модели ДП определяется следующим образом.1.Этап j ставится в соответствии типу j, j=1,2,…, N.2. Состояние yj на этапе j выражает суммарный вес вопросов, количество ответов на которые приняты на этапах j, j+1,…, N; при этом y1=W и yj=0,1,…, W при j=2,3,…, N.3. Варианты решения kj на этапе j описываются количеством вопросов типа j. Значение kj заключено в пределах от нуля до [W/wj], где [W/wj]-целая часть числа (W/wj). Пусть fi (yi)-максимальный суммарный вес вопросов, ответы на которые приняты на этапах j, j+1,…, N при заданном состоянии yj. Рекуррентное соотношение (для процедуры обратной прогонки) имеет следующий вид.

Заметим, что максимальное допустимое значение kj ограничено величиной [yj/wj].

Это позволяет автоматически исключать все не являющиеся допустимыми варианты при заданном значении переменной состояния yj. Решение исходной задачи (см. приложение А):

Этап 8.

Этап 7.

Этап 6.

Этап 5.

Этап 4.

Этап 3.

Этап 2.

Этап 1.

Оптимальное решение определяется теперь следующим образом.

Из условия W=30 следует, что первый этап решения задачи при y1=30 дает оптимальное решение k1=0, которое означает, что на 0 (нуль) вопросов 1-го типа будут даны ответы.

Далее находим:

Соответственно оптимальным решением задачи является (0,0,4,1,0,0,5,7), соответственно максимально количество баллов, которое студент может набрать за отведенное время равно 46.

Описание процедур и функций программ

Procedure Init — предназначена для считывания исходных данных задачи из файла. В качестве исходных данных используется имя текстового файла с данными для расчета. В качестве итога работы процедуры является заполнение массивов W — массив, предназначен для указания веса предмета и массив P — который предназначен для хранения стоимостей вещей.

Procedure Solve — основная процедура, предназначена для вычисления задачи о рюкзаке. Сначала обнуляется массив Take, выбирается оптимум для веса Weight, берутся предметы с 1 по n, если вес предмета больше чем текущий вес, или предыдущий набор дороже выбираемого, тогда берем предыдущий набор, указываем что вещь I не взята, иначе добавляем к предыдущему набору текущий предмет.

Procedure Done — предназначена для записи результата выходных данных задачи в текстовый файл. В файле выводится наилучший набор, и номер расположения его в столбце.