Вероятность. 
Физика. 
Тепловые процессы

Физические процессы можно разделить на два вида:

Детерминированные процессы описываются величинами, значения которых можно предсказать точно во времени: положение частицы, её скорость, ускорение, время восхода Солнца, период колебаний, величины, характеризующие превращение электрического поля в магнитное и наоборот.

Случайные процессы характеризуются величинами, значения которых в будущем могут лежать в некотором диапазоне: расход воды в реках, число аварий на дорогах, эффективность действия какоголибо лекарственного препарата, число шагов от остановки до аудитории, частота использования цифр (например, 9, 4, 1) в числовых константах.

Поскольку мы не знаем будущего значения характеристики случайного процесса, то для предсказания её возможного значения используется понятие вероятности. Ещё П. С. Лаплас понял, что вероятность не есть свойство самого предмета или события, а оно связано с отношением между событиями типа «больше», «равно»,.

«меньше» и определяется отсутствием правила выбора между одинаковыми событиями или объектами.

Числовой оценкой вероятности для дискретной и конечной совокупности случаев (событий, результатов измерений) служит частота появления данного случая среди множества других равновозможных событий. Если общее число возможных событий п и каждое из них может быть осуществлено только одним способом, то вероятность этого события равна отношению числа способов его осуществления (один) к общему числу событий п:

Если каждое событие может быть осуществлено не одним способом, а т способами, то вероятность осуществления такого события равна.

Очевидно, что 0 < w < 1.

В простейшей ситуации, когда есть два независимых события — А и не А (А) (например, орёл — А, решка — А), то.

но.

или.

В общем случае.

но при этом события Л, В, С … несовместимы (независимы), т. е. одновременно эти события не происходят.

В математике для обозначения всей совокупности значений случайной величины используют символ X, а для конкретного значения символ — х. Теперь равенство (1.1) запишется так:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 1.1. Распределение вероятности.

Можно построить диаграмму зависимости вероятности w от значений х (рис. 1.1).

Среднее значение случайной величины определяется как сумма произведений получаемых значений х. на количество п. появлений этой величины, отнесённая к общему количеству событий:

где w (x) = -==г— согласно определению (1.1).

I " i

t

Среднее значение, которое обозначим угловыми скобками, обладает свойствами:

• 1. (ах + Ь) = а (х) + Ь, где а и b — числа.
• 2. (х-<*" = 0.

Среднее значение «говорит» нам, где расположен центр значений случайной величины. Разброс случайной величины относительно среднего характеризуется дисперсией:

После алгебраических преобразований получим:

или.

Вместо дисперсии можно употреблять стандартное отклонение:

Считая, что функция w (x) непрерывна (т. е. х непрерывна и может принимать любые значения, но по физическим соображениям в полуинтервале [0, °°)), введём плотность вероятности (рис. 1.2):

Рис. 1.2. Непрерывное распределение вероятности.

Теперь.

Причём сумма всех вероятностей для величины х, которая может принимать любые значения,.

Дисперсия.

Существуют различные распределения плотности вероятности. Например, равномерное распределение показано на рис. 1.3. Но наиболее часто используют нормальное или гауссово распределение.

Рис. 1.3. Равномерное распределение вероятности.

которое показано кривой 1 на рис. 1.4. Если параметр а равен нулю, то распределение показано кривой 2.

Рис. 1.4. Распределение вероятности Гаусса Вернёмся к МКТ.

Найдём среднее значение скорости молекулы вдоль оси ОХ:

где п — число частиц в единице объёма.

Из принципа молекулярного беспорядка вытекает, что среднее значение проекции скорости.

т. е. газ неподвижен.

С другой стороны, из соображений симметрии следует, что все направления в пространстве равноправны: (^vx) = (^v*) ⁼ (^v*)> причём среднее значение квадрата проекции скорости Поскольку.

то, усредняя v² по всем направлениям при фиксированном абсолютном значении v, получаем.

или.