Аксиально-симметрические поля. 
Ограниченная задача многих тел в потоках Риччи в общей теории относительности

Уравнения Эйнштейна имеют вид [25−28]:

(1).

Здесь — тензор Риччи, метрический тензор и тензор энергии-импульса; - космологическая постоянная Эйнштейна, гравитационная постоянная и скорость света соответственно. Ниже положим, что обусловлено малостью влияния этого параметра в ограниченной задаче многих тел.

Решения уравнений Эйнштейна, обладающие осевой симметрией, рассматривались в работах [16−18, 22−27, 29−30] и других (обзор публикаций дан, например, в [26−27]). Метрика таких пространств, при некоторых предположениях, может быть приведена к виду.

(2).

Здесь — функции, удовлетворяющие уравнениям Эйнштейна. Вычисляя компоненты тензора Эйнштейна в метрике (2) и полагая для вакуума.

.

находим уравнения поля:

(3).

Можно проверить, что не все уравнения (3) являются независимыми и что выполняются следующие два соотношения [26].

(4).

Следовательно, можно в качестве системы уравнений для определения двух функций выбрать, например, первое и четвертое уравнения (3), имеем.

(5).

Разрешая систему уравнений (5) приходим к определению статических полей гравитации в случае осевой симметрии. Отметим, что в нерелятивистском пределе потенциал.

.

где — гравитационный потенциал в теории гравитации Ньютона. Из второго уравнения (5) находим оценку.

.

Рассмотрим решения системы уравнений (3) вида.

(6).

В частном случае, полагая в (6), приходим к выражению потенциалов, впервые полученных в работе [23].

Поскольку выражения (7) используются в численных расчетах, мы добавили ко второму потенциалу константу, с целью исключить особенность, возникающую при условии .

Отметим, что выражения (7) подверглись критике со стороны Эйнштейна и Розена [30], как лишенные физического смысла. Действительно, в нерелятивистском случае потенциал в (7) сводится к выражению.

.

где — гравитационный потенциал в теории гравитации Ньютона. Но тогда этот потенциал сводится к потенциалу двух точечных масс, расположенных на оси симметрии системы в точках .

Поскольку точечные массы в метрике (2) не испытываю взаимного перемещения, хотя должны притягиваться согласно теории Ньютона, автор [23] делает ошибочный вывод, что не верна теория относительности Эйнштейна. В действительности, однако, в теории Ньютона существует статическое решение для двух тяготеющих масс, движущихся по круговым орбитам в синодической системе координат — неинерциальной системе отсчета вращающейся синхронно с периодом обращения тел [31−32].

Как известно, синодическая система координат применяется в постановках ограниченной задачи трех тел в классической механике [31−32], что может быть использовано в формулировке аналогичной задачи в общей теории относительности. Различие же этих двух задач заключается в наличии потенциала, который не имеет аналогов в теории Ньютона, но играет роль аналогичную эффектам неинерциальной системы отсчета в классической механике.

Полагая в (12), получим.

(8).

Отметим, что выражение потенциала в форме (8) согласуется с выражением гравитационного потенциала, полученным в нерелятивистском приближении путем обработки данных для 50 галактик [29]. Поэтому выражения (6)-(8) представляют интерес в теории движения, столкновения и слияния частиц, представленных сингулярностями поля в потоках Риччи, с излучением гравитационных волн [16−18].

Рассмотрим решение первого уравнения, содержащее сингулярностей на оси, имеем.

(9).

Определение второго потенциала системы (5) для заданной функции (9) не представляет труда, но соответствующие выражения получаются довольно громоздкими, поэтому здесь не приводятся. Отметим, что в частном случае трех тел потенциал был получен в работе [24].