Временные ряды и прогнозирование

При рассмотрении классической модели регрессии характер экспериментальных данных, как правило, не имеет принципиального значения. Однако это оказывается не так, если условия классической модели нарушены.

Методы исследования моделей, основанных на данных пространственных выборок и временных рядов, вообще говоря, существенно отличаются. Объясняется это тем, что в отличие от пространственных выборок наблюдения во временных рядах, как правило, нельзя считать независимыми.

В этой главе мы остановимся на некоторых общих понятиях и вопросах, связанных с временными рядами, использованием регрессионных моделей временных рядов для прогнозирования. При анализе точности этих моделей и определении интервальных ошибок прогноза на их основе, будем полагать, что рассматриваемые в главе регрессионные модели временных рядов удовлетворяют условиям классической модели. Модели временных рядов, в которых нарушены эти условия, будут рассмотрены в гл. 7, 8.

Общие сведения о временных рядах и задачах их анализа

Под временным рядом (динамическим рядом, или рядом динамики) в экономике подразумевается последовательность наблюдений некоторого признака (случайной величины) Y в последовательные моменты времени. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда, которые будем обозначать y_t (/ = 1,2,…, п), где п — число уровней.

В табл. 6.1 приведены данные, отражающие спрос на некоторый товар за восьмилетний период (уел. ед), т. е. временной ряд спроса у₍.

В качестве примера на рис. 6.1 временной ряд у_г изображен графически.

В обшем виде при исследовании экономического временного ряда у, выделяются несколько составляющих:

где Uf — тренд, плавно меняющаяся компонента, описывающая чистое влияние долговременных факторов, т. е. длительную («вековую») тенденцию изменения признака (например, рост населения, экономическое развитие, изменение структуры потребления ит. п.);

v, — сезонная компонента, отражающая повторяемость экономических процессов в течение не очень длительного периода (года, иногда месяца, недели и т. д., например, объем продаж товаров или перевозок пассажиров в различные времена года);

Cj — циническая компонента, отражающая повторяемость экономических процессов в течение длительных периодов (например, влияние волн экономической активности Кондратьева, демографических «ям», циклов солнечной активности и т. п.);

6, — случайная компонента, отражающая влияние не поддающихся учету и регистрации случайных факторов.

Рис 6.1.

Следует обратить внимание на то, что в отличие от е, первые три составляющие (компоненты) и_ь v_h c_t являются закономерными, неслучайными.

Важнейшей нассической задачей при исследовании экономических временных рядов является выявление и статистическая оцен-

ка основной тенденции развития изучаемого процесса и отклонений от нее.

Отметим основные этапы анализа временных рядов:

• • графическое представление и описание поведения временного ряда;
• • выделение и удаление закономерных (неслучайных) составляющих временного ряда (тренда, сезонных и циклических составляющих);
• • сглаживание и фильтрация (удаление низкоили высокочастотных составляющих временного ряда);
• • исследование случайной составляющей временного ряда, построение и проверка адекватности математической модели для ее описания;
• • прогнозирование развития изучаемого процесса на основе имеющегося временного ряда;
• • исследование взаимосвязи между различными временными рядами.

Среди наиболее распространенных методов анализа временных рядов выделим корреляционный и спектральный анализ, модели авторегрессии и скользящей средней. О некоторых из них речь пойдет ниже.

Если выборка у, У2, —₉ Ун—> Уп рассматривается как одна из реализаций случайной величины К, временной ряд у, у2у_п рассматривается как одна из реализаций (траекторий) случайного процесса^[1] Y (t). Вместе с тем следует иметь в виду принципиальные отличия временного ряда y_t (/ = 1,2,…, п) от последовательности наблюдений у, у2у_п, образующих случайную выборку. Во-первых, в отличие от элементов случайной выборки члены временного ряда, как правило, не являются статистически независимыми. Во-вторых, члены временного ряда не являются одинаково распределенными.

• [1] Случайным процессом (или случайной функцией) Y (t) неслучайного аргумента /называется функция, которая при любом значении / является случайной величиной.