Восстановление экономических характеристик по их предельным значениям

Пример: Пусть С (q) — функция издержек, q — количество выпускаемого товара. Как известно, MC (q) = C?(q) — функция предельных издержек, выражающая при заданном q издержки на производство 1 дополнительной единицы продукции. Пусть задана функция предельных издержек и требуется определить по ней C (q).

Для однозначного решения требуется информация об издержках производства первой единицы продукции. Обозначим такие издержки через С0. Тогда поставленную задачу решает следующий интеграл с переменным верхним пределом:

(2.4).

где С (q) — функция издержек.

MC — предельные издержки;

t — время .

Действительно, С (1)=С0, так что поставленное начальное условие выполнено. Кроме того, мы знаем, что для непрерывных функций MC (t) интеграл справа в уравнении (2.4) есть дифференцируемая функция, производная которой в точке q равна MC (q). Стало быть, этот интеграл действительно выражает искомую функцию издержек [4].

Нахождение дисконтированной стоимости денежного потока

Как известно, дисконтирование представляет собой специальный приём для сопоставления текущей и будущей (очевидно, более низкой, чем текущая) ценности денежных сумм. Дисконтирование также называют снижение ценности отсроченных денежных поступлений.

Пусть в дискретные моменты времени t = 1, 2, 3, …. величина денежных поступлений составляет R (1), R (2), R (3), …. Если ставку банковского процента, соответствующую одному временному такту обозначит через р, то, пересчитывая эти значения на настоящий момент и складывая результаты, получим дисконтированную стоимость всего потока, соответствующего изменению времени от 1до n:

(2.5).

Величина П, меньшая, чем сумма, дает теперешнюю суммарную стоимость всех поступлений за указанный период времени [4].

Рассмотрим теперь модель с непрерывным временем, изменяющимся на некотором отрезке [0,T]. В такой модели как сами выплаты, так и снижение их ценности происходят непрерывно. Если в момент времени t выплачиваемые средства составляют R (t) условных единиц, то в качестве характеристики изменения денежного потока целесообразно взять производную функции R (t) по времени: которую именуют скоростью денежного потока. Ясно, что мы имеем теперь дело не с дискретными значениями потока, а с его приращениями (их приближенно заменим дифференциалами функции R (t) dR (t;dt) = I (t)dt за время от t до t + dt.

Для нахождения дисконтированной стоимости dП такого приращения разобьем единичный временной промежуток на k равных частей. Тогда отрезок [0;t], в конце которого за время dt поток прирастает на dR (t;dt), разобьётся на kt равных частей [4]. Далее осуществим в формуле (2.4) переход к пределу при k>?, взяв в знаменателе ее правой части в качестве коэффициента дисконтирования величину, а в числителе — приращение dR (t;dt):

Интегрируя теперь этот элемент стоимости по t в пределах от 0 до T найдем.

(2.6).

где П (Т) -дисконтированный поток.

I (t) — скорость денежного потока;

t — время .