К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве

В настоящее время имеется немало работ, посвященных многомерным интегральным операторам c однородными степени (-n) ядрами (см., например, [1−4], [7−8]). Для таких операторов получены необходимые и достаточные условия нетеровости и обратимости, описаны банаховы алгебры, порожденные этими операторами, найдены критерии применимости проекционного метода, интегральные операторы с однородными ядрами и переменными коэффициентами ([2], [3]). В данной статье рассматриваются операторы с радикальными осциллирующими коэффициентами вида. Подчеркнем, что операторы с однородными ядрами и радикальными (по крайней мере в окрестности точки x=0) коэффициентами находят применение в некоторых задачах математической физики.

В работе используются следующие обозначения:;

; ;

площадь сферы; .

В пространстве рассмотрим оператор (1).

.

где, а функция удовлетворяет следующим условиям:

• 1) однородность степени (-n), то есть ;
• 2) инвариантность относительно группы вращений, то есть

;

радикальный осциллирующий оператор коэффициент.

3) суммируемость, то есть.

Рассмотрим в интегральный оператор (2).

.

ядро которого удовлетворяет условию (1).

Оператору сопоставим оператор, который определим формулой.

(3).

где — оператор вида (2) с ядром. Здесь и ниже мы отожествляем функции и с операторами умножения на эти функции. Рассмотрим разность .

Имеем. Так как, то оператор является компактным в Следовательно, T-компактный оператор. Поскольку, то оператор нетёров тогда и только тогда, когда нетёров оператор, причем .

Приступим к исследованию оператора. В пространстве рассмотрим уравнение, порожденное этим оператором:

. (4).

Поскольку функции удовлетворяют условию (2), то существуют такие функции, что. Учитывая это, и переходя в последнем соотношении к сферическим координатам, получим.

(5) ,.

(6).

Функция удовлетворяет следующему условию суммируемости.

(7).

Умножая обе части уравнения (5) на сферические гармоники, интегрируя по единой сфере, и применяя формулу Функа-Гекке, получим следующую бесконечную диагональную систему одномерных интегральных уравнений (8).

(9),.

при этом — многочлены Лежандра.

В пространстве рассмотрим оператор, формирующий левую часть уравнения (8).

.

Лемма 1. Пусть. Тогда существует число такое, что оператор обратим для всех .

Доказательство. В пространстве рассмотрим оператор

.

где. По теореме Харди-Литтлвуда справедлива оценка.

(10).

Из равенства (9) и свойств многочленов Лежандра следует, что при для почти всех. Тогда, используя мажоратную теорему Лебега с учетом оценки (7), получаем, что интеграл в неравенстве (10) стремится к нулю при. Следовательно,. Поэтому существует число такое, что для всех. Значит, оператор обратим для всех Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть и — число, указанное в лемме 1. Оператор вида (1) нётеров в пространстве тогда и только тогда, когда нётеровы в пространстве все операторы, причем (11).

Авсянкин О.Г. О С^* — алгебре, порожденной многомерными интегральными операторами с однородными ядрами и операторами мультипликативного сдвига [Текст] // Докл. РАН. 2008. Т.419. № 6. С.727−728.

Авсянкин О.Г. О С^* -алгебре, порожденной многомерными интегральными операторами с однородными ядрами и коэффициентами вида |x|^ia [Текст] // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 2008.№ 5. С. 10−14.

Авсянкин О.Г. О многомерных интегральных операторах с однородными ядрами и осциллирующими радикальными коэффициентами [Текст] // Дифференц. уравнения. 2007. Т.43. № 9. С. 1193−1196.

Авсянкин О.Г., Карапетянц Н. К. Многомерные интегральные операторы с однородными степени (-n) ядрами [Текст] //Докл. РАН. 1999. Т.368. С. 727−729.

Павлов И.В., Скориков А. В. L_p со смешанной нормой на бесконечномерном торе [Текст] //Изв. вузов. Матем. 1986. № 2. С 69−72.

Павлов И.В. О крайних лучах и интегральном представлении в конусе супермартингалов [Текст] //ТВП. 25:3(1980). С. 602−605.

Karapetians N., Samko S. Equations with involute operators// Boston, Basel, Berlin: Birkhauser. 2001.427 p.

Avsyankin O.G., Karapetians N.K. Multidimensional integral operators with homogenous kernels [Текст] // J. Natur. Geometry. 16(1999).1−18p.

Михайлов Л.Г., Мухсинов А. Формула представления решений одного трехмерного немодельного сингулярного уравнения в частных производных [Текст] // Докл. РАН. 2010. Т.431. № 1, С. 20−21.

Лаптев А.Г., Бородин Е. Н. Математическая модель процесса адсорбации при очистке сточных вод ТЭС от нефтепродуктов. [Электронный ресурс] //Инженерный вестник Дона. 2010. № 4. — Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4y2010/261 (доступ свободный) — Загл. с экрана. — Яз. рус.

Кадомцев М.И., Ляпин А. А., Тимофеев С. И. К вопросам построения эффективных алгоритмов расчета системы «сооружение-грунт». [Электронный ресурс] // Инженерный вестник Дона. 2012. № 1. — Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n1y2012/719 (доступ свободный) — Загл. с экрана. — Яз. рус.