К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве
![Реферат: К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве](https://westud.ru/work/8691196/cover.png)
В настоящее время имеется немало работ, посвященных многомерным интегральным операторам c однородными степени (-n) ядрами (см., например,). Для таких операторов получены необходимые и достаточные условия нетеровости и обратимости, описаны банаховы алгебры, порожденные этими операторами, найдены критерии применимости проекционного метода, интегральные операторы с однородными ядрами и переменными… Читать ещё >
К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
В настоящее время имеется немало работ, посвященных многомерным интегральным операторам c однородными степени (-n) ядрами (см., например, [1−4], [7−8]). Для таких операторов получены необходимые и достаточные условия нетеровости и обратимости, описаны банаховы алгебры, порожденные этими операторами, найдены критерии применимости проекционного метода, интегральные операторы с однородными ядрами и переменными коэффициентами ([2], [3]). В данной статье рассматриваются операторы с радикальными осциллирующими коэффициентами вида. Подчеркнем, что операторы с однородными ядрами и радикальными (по крайней мере в окрестности точки x=0) коэффициентами находят применение в некоторых задачах математической физики.
В работе используются следующие обозначения:;
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_1.png)
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_2.png)
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_3.png)
; ;
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_4.png)
площадь сферы; .
В пространстве рассмотрим оператор (1).
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_5.png)
.
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_6.png)
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_7.png)
где, а функция удовлетворяет следующим условиям:
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_8.png)
- 1) однородность степени (-n), то есть ;
- 2) инвариантность относительно группы вращений, то есть
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_9.png)
;
радикальный осциллирующий оператор коэффициент.
3) суммируемость, то есть.
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_10.png)
Рассмотрим в интегральный оператор (2).
.
ядро которого удовлетворяет условию (1).
Оператору сопоставим оператор, который определим формулой.
![(3).](/img/s/9/91/2343891_11.png)
(3).
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_12.png)
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_13.png)
где — оператор вида (2) с ядром. Здесь и ниже мы отожествляем функции и с операторами умножения на эти функции. Рассмотрим разность .
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_14.png)
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_15.png)
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_16.png)
Имеем. Так как, то оператор является компактным в Следовательно, T-компактный оператор. Поскольку, то оператор нетёров тогда и только тогда, когда нетёров оператор, причем .
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_17.png)
Приступим к исследованию оператора. В пространстве рассмотрим уравнение, порожденное этим оператором:
![. (4).](/img/s/9/91/2343891_18.png)
. (4).
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_19.png)
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_20.png)
Поскольку функции удовлетворяют условию (2), то существуют такие функции, что. Учитывая это, и переходя в последнем соотношении к сферическим координатам, получим.
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_21.png)
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_22.png)
(5) ,.
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_23.png)
![(6).](/img/s/9/91/2343891_24.png)
(6).
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_25.png)
Функция удовлетворяет следующему условию суммируемости.
![(7).](/img/s/9/91/2343891_26.png)
(7).
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_27.png)
Умножая обе части уравнения (5) на сферические гармоники, интегрируя по единой сфере, и применяя формулу Функа-Гекке, получим следующую бесконечную диагональную систему одномерных интегральных уравнений (8).
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_28.png)
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_29.png)
(9),.
при этом — многочлены Лежандра.
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_30.png)
В пространстве рассмотрим оператор, формирующий левую часть уравнения (8).
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_31.png)
.
Лемма 1. Пусть. Тогда существует число такое, что оператор обратим для всех .
Доказательство. В пространстве рассмотрим оператор
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_32.png)
.
где. По теореме Харди-Литтлвуда справедлива оценка.
![(10).](/img/s/9/91/2343891_33.png)
(10).
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_34.png)
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_35.png)
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_36.png)
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_37.png)
Из равенства (9) и свойств многочленов Лежандра следует, что при для почти всех. Тогда, используя мажоратную теорему Лебега с учетом оценки (7), получаем, что интеграл в неравенстве (10) стремится к нулю при. Следовательно,. Поэтому существует число такое, что для всех. Значит, оператор обратим для всех Лемма доказана.
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_38.png)
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_39.png)
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_40.png)
![К вопросам построения интегральных операторов с осциллирующими коэффициентами в пространстве.](/img/s/9/91/2343891_41.png)
Лемма 2. Пусть и — число, указанное в лемме 1. Оператор вида (1) нётеров в пространстве тогда и только тогда, когда нётеровы в пространстве все операторы, причем (11).
Авсянкин О.Г. О С* — алгебре, порожденной многомерными интегральными операторами с однородными ядрами и операторами мультипликативного сдвига [Текст] // Докл. РАН. 2008. Т.419. № 6. С.727−728.
Авсянкин О.Г. О С* -алгебре, порожденной многомерными интегральными операторами с однородными ядрами и коэффициентами вида |x|ia [Текст] // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. 2008.№ 5. С. 10−14.
Авсянкин О.Г. О многомерных интегральных операторах с однородными ядрами и осциллирующими радикальными коэффициентами [Текст] // Дифференц. уравнения. 2007. Т.43. № 9. С. 1193−1196.
Авсянкин О.Г., Карапетянц Н. К. Многомерные интегральные операторы с однородными степени (-n) ядрами [Текст] //Докл. РАН. 1999. Т.368. С. 727−729.
Павлов И.В., Скориков А. В. Lp со смешанной нормой на бесконечномерном торе [Текст] //Изв. вузов. Матем. 1986. № 2. С 69−72.
Павлов И.В. О крайних лучах и интегральном представлении в конусе супермартингалов [Текст] //ТВП. 25:3(1980). С. 602−605.
Karapetians N., Samko S. Equations with involute operators// Boston, Basel, Berlin: Birkhauser. 2001.427 p.
Avsyankin O.G., Karapetians N.K. Multidimensional integral operators with homogenous kernels [Текст] // J. Natur. Geometry. 16(1999).1−18p.
Михайлов Л.Г., Мухсинов А. Формула представления решений одного трехмерного немодельного сингулярного уравнения в частных производных [Текст] // Докл. РАН. 2010. Т.431. № 1, С. 20−21.
Лаптев А.Г., Бородин Е. Н. Математическая модель процесса адсорбации при очистке сточных вод ТЭС от нефтепродуктов. [Электронный ресурс] //Инженерный вестник Дона. 2010. № 4. — Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4y2010/261 (доступ свободный) — Загл. с экрана. — Яз. рус.
Кадомцев М.И., Ляпин А. А., Тимофеев С. И. К вопросам построения эффективных алгоритмов расчета системы «сооружение-грунт». [Электронный ресурс] // Инженерный вестник Дона. 2012. № 1. — Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n1y2012/719 (доступ свободный) — Загл. с экрана. — Яз. рус.