Напряжения в декартовой системе координат

Выделим из трехмерного тела малый прямоугольный элемент (кубик) с ребрами параллельными осям координат xyz (рис. 1.5а). Согласно введенному выше правилу видимые площадки кубика положительные (внешние нормали к ним совпадают с направлениями осей x, y, z), а невидимые площадки — отрицательны. На положительных площадках со стороны отброшенных частей тела действуют полные напряжения, а на отрицательных площадках — противоположно направленные. Каждое это полное напряжение можно разложить на компоненты по осям x, y, z по аналогии с разложениями (1.1).

Рис. 1.5.

Положительные направления всех компонент на положительных (видимых) площадках показаны на рис. 1.5 В. Аналогичные напряжения действуют и на отрицательных (невидимых) площадках, но противоположно направленные (на рис. 1.5 не показаны).

Итак, в самом общем случае нагружения трехмерного тела в нем могут появиться девять компонент напряженного состояния, которые в декартовых осях можно записать в виде тензора напряжений Т.

(1.2).

Закон парности касательных напряжений

Рассмотрим равновесие малого прямоугольного элемента с ребрами длиной и вырезанного из тела. По всем его площадкам действуют напряжения, показанные на рис. 1.5 В. Рассмотрим моментное уравнение равновесия элемента относительно оси, проходящей через центр тяжести площадки, перпендикулярной к оси х, т. е.. При этом оставим на рис. 1.6 только те напряжения, которые дают такие моменты.

На невидимых (отрицательных) площадках действуют сами напряжения и, а на видимых (положительных) — напряжения с малыми приращениями по соответствующей координате, т. е. и .

Напряжения умножаем на площадки, где они действуют (получим силы на них) и составим. (ось на рис. 1.6 показана как точка).

Рис. 1.6.

Ввиду малости размеров и, приращения напряжений можно считать малыми по сравнению с основными напряжениями и и их не учитывать.

Сокращая в (1) на окончательно получим.

= .

Аналогично, оставив моментные уравнения равновесия относительно осей и, проходящие через центр кубика, окончательно получим:

(1.3).

Эти соотношения и есть закон парности касательных напряжений: на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения, перпендикулярные к линии пересечения этих площадок, равны между собой. Поэтому тензор напряжений Т (1.2) из девяти величин содержит только шесть независимых величин.