Докажите законы больших чисел в форме Бернулли и Чебышева

Теорема 13.1 (Закон больших чисел в форме Чебышева). Если ₁, ₂,…, _n,… — независимые случайные величины с равномерно ограниченными дисперсиями (), то для 0 будет:

.

Доказательство. Обозначим. Тогда получим.

.

На основании неравенства Чебышева получаем:

.

Перейдя к пределу при n, получаем пределы левой и правой части равные 1. В результате теорема доказана.

Следствие 12.1. Если в условиях теоремы 12.1, то для 0 будет:

.

Действительно, в этом случае.

.

Теорема 13.2 (Закон больших чисел в форме Бернулли). При независимых испытаниях Бернулли с вероятностью р появления события, А в каждом для 0 будет:

.

здесь m — число появлений события, А в n испытаниях.

Доказательство. Представим относительную частоту в виде отношения, где случайная величина _i = 1, если в i-м испытании появилось событие А. Для случайных величин ₁, ₂,…, _n выполняется следствие 12.1, т.к.. На основании следствия 12.1 теорема 13.2 доказана.

Сформулируйте теорему Ляпунова

Теорема 14.1 (Теорема Ляпунова). Если случайная величина _n является суммой большого числа n независимых случайных величин _i, удовлетворяющих условию Ляпунова, то _n имеет распределение близкое к нормальному:

.

.

Условие Ляпунова заключается в следующем:

· Все случайные величины ₁, ₂,… имеют одинаковое распределение.

• · Все дисперсии конечны и отличны от нуля.
• · Для 0 .