Метод доверительных интервалов

Зададим число а > 0, которое на практике выбирают достаточно близким к 0 так, чтобы событие с вероятностью 1 — а можно было считать практически достоверным. При каждом фиксированном значении параметра 0 распределение статистики t (x…х") обозначим g (.r 10). Эту плотность можно рассматривать как распределение единичной массы на вертикальной прямой, проходящей через точку (0,0) в плоскости (0, t) (рис. 9.1).

Рис. 9.1.

Определим для каждого фиксированного значения 0 числа 6^(0, а) и С₂(в, а) так, чтобы количество массы, попавшей на отрезок [С], С₂] рассматриваемой вертикальной прямой, было равно 1 — а, т. е. чтобы.

1) Ci (0) < t (xi,…, х") < С₂(0) эквивалентно утверждению (0, t) е D (a).

Числа С[ и С₂ зависят от 0 и с изменением точки (0, С) и (0, С₂) описывают в плоскости (0, t) две кривые. Предположим, что всякая прямая, параллельная оси 00, пересекает каждую из кривых лишь в одной точке. Обозначим через ПСи, …, х") и t₂(x, …, х") точки пересечения этих кривых с прямой, проходящей через точку (0, t (x, …, х")) параллельно оси 00. Пусть D (а) — область, заключенная между двумя кривыми. Очевидно, что утверждение.

2) Аналогично, утверждение t < 0 < t₂ также эквивалентно утверждению (0, t) е D (а).

Таким образом, если для какой-нибудь выборки Х,…, х" справедливо неравенство 1), то и справедливо неравенство 2), и наоборот. Поэтому при любом 0.

Соотношение 1) означает, что случайная величина Г (д'1…х") заключена между границами С и С₂, а неравенство 2) означает, что величина 0 заключена между случайными пределами t и t₂. Таким образом, случайный интервал (П, Г₂), с вероятностью 1 — а содержит внутри себя неизвестное значение 0. Доверительный интервал, отвечающий заданному уровню доверия, можно строить разными способами, подобно тому, как разными способами можно оценивать неизвестные параметры. Способ построения следует выбирать так, чтобы доверительная полоса была по возможности уже.

Пример 9.1. Построение доверительного интервала для математического ожидания я нормального распределения с известной дисперсией ст².

Решение. Пусть х^, — выборка из нормальной совокупности N (a, а²), причем дисперсия ст² известна. В качестве оценки для.

а выберем выборочное среднее х = - ?.Г/. Исследуем оценки, т. е.

укажем доверительные границы, в которых с вероятностью 1 — а лежит неизвестный параметр а.

Выборочное среднее х имеет нормальное распределение с параметрами (я, о²/п). В силу симметричности распределения х относительно а для центрального интервала (он имеет наименьшую длину среди других возможных интервалов) функции 6',(я, а) и С₂(я, а) имеют вид.

(!).

находится из уравнения.

где число t

х — а

Сделав замену переменной и = • ц'/2 «получим Если Ф (.г) — функция распределения стандартного нормального распределения, то так как Ф (-.г) = 1 — Ф (дг), тогда.

или

f оЛ, а Решение 11I этого уравнения называется 100%-процент;

иой точкой распределения Ф (л). Чтобы найти ее, воспользуемся таблицами процентных точек нормального распределения. Так, например, для, а = 0,05 по таблицам находим, что f (0,025) = 1,96. Решив неравенство

относительно а, получим для а доверительный интервал с заданной надежностью 1 — а.

Приведем графическое представление этого интервала (рис. 9.2).

Рис. 9.2.

Определение. Квантилью уровня, а случайной величины X называют число Q_a, удовлетворяющее неравенствам.

Вся зона между вертикальными прямыми образует доверительную полосу.

Интервал будет возрастать, если увеличивать коэффициент доверия, т. е. уменьшать, а и, значит, увеличивать i f—J. Доверительная полоса суживается, если растет п или уменьшается дисперсия а².

Второй способ построения доверительного интервала состоит в подборе такой функции ф (0, х_1т…, х_п), что распределение (р не зависит от 0. В этом случае числа С и С_ъ для которых P{Cj< ср (0, *i,…, х") < С2} = 1 — а, выбираются не зависящими от 0: С = С] (а), С₂ = С₂(а).

Если множество {0: < ф (0, д^,…, ж") < С₂} есть интервал (или неравенства разрешимы относительно 0), то это доверительный интервал с заданным коэффициентом доверия.

Пример 9.2. Построим доверительный интервал для неизвестной дисперсии а² при заданном а в случае выборки из нормальной совокупности. В качестве оценки для а² возьмем 5² = ~И (^Х> ~ я)²— Рассмотрим случайную величину.

т.е. она имеет у² распределение с п степенями свободы.

Для заданного коэффициента доверия 1 — а найдем из уравнений.

числа б’Да) и С₂(а). Если обозначить через у"(а) а-100% точку распределения у~ с п степенями свободы, то.

Решая относительно а² неравенства.

получим доверительный интервал для а²

Пример 9.3. Построение доверительного интервала для дисперсии о² в случае неизвестного а. Оценкой для дисперсии будет.

Докажем следующую лемму.

Лемма 9.1. В выборкех₍…х" из нормально раенределен;

_ 1 «.

ной генеральной совокупности выборочное среднеех= ~X*i

W;=i.

1 П ¹¹

и выборочная дисперсия S² = — Z (х, — х)² взаимно незави;

ⁿi-l

nS² ₇

симы и случайная величина —у имеет распределение х с п — 1 степенями свободы.

Напомним некоторые факты из теории матриц, которыми будем пользоваться в дальнейшем. Матрица А порядка пХп называется ортогональной, если А ¹ = Л¹ где Л^т — транспонированная матрица. Таким образом, Л ортогональна тогда и только тогда, когда ЛЛ^Т = А’А = 1, где 1 — единичная матрица. Из определения следует, что для ортогональной матрицы сумма квадратов элементов каждой строки равна 1, а сумма произведений соответствующих элементов двух различных строк равна 0 (то же самое справедливо и для столбцов).

Свойство 9.1. |det Л | = 1.

(ХЛ (КЛ Свойство 9.2. Если X = I, Y = •, Л — ортогональная.

UJ UJ.

матрица и Y=АХ, то X Y² = Действительно, J]Y² = Y^TY= = X¹A^TAX = X^X=Y_fXf.

Из этих двух свойств сразу следует, что если вектор Y получен из X линейным ортогональным преобразованием: Y = AX, то абсолютное значение якобиана преобразования равно 1 и X Y? ⁼ XX,²-

Предположим, что Х, …, Х" — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение Л^г(0, 1). Их совместная плотность равна.

… —. _ .О —. — -О. —. _ .о _ гг _ .

Если Л — ортогональная матрица и Y = АХ, то так как? У,² = XX² и якобиан преобразования равен 1, сразу получаем, что совместная плотность распределения случайных величин Y_h …, Y_n равна

Таким образом, Y_t независимы и имеют стандартное нормальное распределение.

Доказательство. Рассмотрим случай, когда Х, …, Х_п имеют стандартное нормальное распределение. Рассмотрим вектор

сумма квадратов его компонент равна 1. Поэтому можно построить ортогональную матрицу Л, такую, что первой строкой ее будет вектор U. Пусть Y= ЛХ. Так как U образует первую строку, то.

Кроме того, = Yj Y,², поэтому.

Так как случайные величины Y,…, Y" независимы, то случайные.

п _ п

величины Y_{ и X Y,² независимы, т. е. независимых и X (X, -X)².

/=2 i=l.

Из того, что Y,…, Y" независимы и имеют стандартное нормаль;

ное распределение, следует, что ?(Х, — -X)² = YY? имеет %² распределение с (п — 1) степенями свободы.

Рассмотрим теперь общий случай. Пусть случайные величины Х_у …, Х_п имеют нормальное распределение с математическим ожиданием а и дисперсией а².

Тогда случайные величины z, = (Xj — а)/о, 2=1, …, п имеют стандартное нормальное распределение и, как было доказано вы;

п

ше, z и Y (^zi ~ ²)² независимы, причем X (²i ~ z)² имеет у² распределение с (п — 1) степенями свободы. ¹

п 1 п

Так как z = (х — р)/а и X (^i — z)² = X (*,• - *)², то отсю;

i=i ^а /=1.

п

да сразу следует независимость х и Х (х, — х)². Лемма дока;

1=1.

зана.

тт •• ^nS2 2.

На основании леммы случайная величина —т имеет у

ст распределение с (п — 1) степенями свободы. Теперь, проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям из примера 9.2, получаем следующий доверительный интервал для ст²:

Замечание 9.1. Если в качестве оценки для а² использо;

вать оценку Sq =-Z (*;- х)², то для с² получаем довери;

" ⁷¹ ~ <;-1 тельный интервал.

Пример 9.4. Построение доверительного интервала для математического ожидания а при неизвестной дисперсии а².

" - х — а _г

Рассмотрим случайную величину t = у—₅ ун, которая имеет Г-распределение с (п — 1) степенями свободы. Поскольку Г-распределение симметрично относительно нуля, то СДа) = -С>(а),

а

причем С₂(а) находим из условия P{t > C2(a)} = —, т.с. С₂(а) есть ОС ^.

—100% точка f-распределеиия с (и — 1) степенями свободы. Доверительный интервал для а примет вид.