Введение. 
Асимптотические методы решения интегралов

Многочисленные задачи математики, математической физики, механики, техники приводят к необходимости исследовать интегралы вида:

при больших значениях параметра.

Можно по пальцам пересчитать те случаи, когда такие интегралы явно вычисляются.

С другой стороны, при больших значениях параметра вычисление значений таких интегралов не под силу даже самым современным ЭВМ. Единственное, что остается — это попытаться воспользоваться асимптотическими методами.

Асимптотические методы, к сожалению, также имеют свои границы. Не следует думать, что асимптотику любого интеграла вышеприведенного вида можно вычислить. Но в ряде случаев получающиеся асимптотические формулы настолько просты, что сомневаться в применении именно этих методов не приходится.

интеграл лаплас эрдейи асимптотика.

Сущность метода Лапласа

Метод Лапласа применяется для получения асимптотического разложения интегралов вида:

где не зависят от положительного параметра , — это некоторая дважды — дифференцируемая функция на отрезке , — может принимать комплексные значения. Возникновение этого метода связано с именем Лапласа. Максимальное значение множителя достигается в точке, в которой имеет максимум. Если велико, то этот пик очень острый, и график подынтегрального выражения подсказывает, что преобладающая часть вклада в интеграл определяется окрестностью точки. Поэтому мы заменяем главными членами их в ряды по возрастающим степеням разности, а затем, в зависимости от условий, мы расширяем пределы интегрирования до -? или +?. Получающийся интеграл вычисляется явно и дает искомое приближение.

Реализация идеи.

Сначала вспомним, как решается простейший случай. А именно, когда функция аналитична на отрезке ] и имеет максимум в какой-то внутренней его точке. При этом предположим, что никаких особенностей в точке не имеет и. В силу того, что, функция спадает вблизи максимума очень быстро и хорошо первым неисчезающим членом ряда Тейлора.

· Пусть. Тогда; пусть для простоты .

Тогда:

гдемалое фиксированное число, и:

Следовательно, Заметим, что. Последний интеграл равен:

Так как:

Итак, мы получили асимптотическую формулу:

· Пусть теперь t₀ совпадает с одним из концов отрезка, например t₀=,.

и пусть для простоты Заменяя F () интегралом по отрезку и заменяя приближенно на этом отрезке функции:

получаем, что:

Заметим, что. Вычисляя последний интеграл, получаем:

Формулы являются основными асимптотическими формулами для интегралов Лапласа.