Расчет параметров цикла Ренкина

Ниже представлен расчет в среде Mathcad термического КПД простейшего цикла Ренкина1[1]: Расчет предваряется заданием (п. 1) пользовательских размерностей физических величин (МПа, бар, мм рт ст, м, кг, кДж и ат), которые связываются со встроенными в Mathcad — Pa, torr, m, kg, J, kgf и cm (см. табл. 5.17).

Расчет КПД цикла ведется двумя способами:

в режиме суперкалькулятора (п.п. 2 и 3 см. выше);

в режиме программного формирования функции пользователя, возвращающей кпд цикла (п. 4 см. ниже).

Режим суперкалькулятора удобен при отладке расчета (при поиске в нем ошибок) и при подготовке его протокола к проверке (например, к оппонированию рецензентом). Значение введенной переменной или переменной, рассчитанной по заданной пользователем формуле, там же выводится на экран дисплея и/или бумагу принтера с выбранной пользователем размерностью и точностью.

Функции, возвращающие термодинамические параметры воды и водяного пара, вводятся в расчет ссылкой (Reference — см. начало п. 3) на соответствующий Mathcad-документ (см. выше задачу 1). После ссылки на документ, где задаются функции пользователя по свойствам воды и водяного пара) в рабочем документе становятся доступны (видимы) функции, возвращающие нужные термодинамические свойства. Далее расчет ведется по рутинным формулам, задающим основные параметры цикла: степень сухости пара, выходящего из турбины (x₂), удельную работу турбины (l_T), удельную работу насоса (l_н), теплоту, подводимую в цикле (q_k), и, наконец, сам термический КПД цикла (_т).

В п. 4 (см. ниже) программно формируется функция пользователя _т(p₁, p₂, T₁), возвращающая значение КПД цикла Ренкина в зависимости от значений трех аргументов: исходное (p₁) и конечное (p₂) давления в турбине и температура острого пара (T₁). В функцию _т встроено пользовательское сообщение об ошибке (оператор error): при расчете подразумевается, что в конденсатор поступает влажный пар (допущение расчета):

При формировании функции _т все промежуточные значения оператором ¦ ¦ заносятся в локальные переменные, область видимости которых ограничена самой программой-функцией. Вертикальные линии отмечают начала и концы соответствующих операторных блоков.

Функция пользователя _т(p ₁, p ₂, T ₁) позволяет средствами Mathcad построить табличные (п. 4.3) и графические (п. 4.4) зависимости, связывающие КПД цикла с его параметрами:

Задача 3. Оптимизация ступенчатого испарения в барабанном котле. Ниже представлен протокол решения средствами символьной математики Mathcad задачи об оптимальном парораспределении в барабане котла со ступенчатым испарением. Рассматривается трехступенчатое испарение: необходимо определить доли пара, генерируемые в первом (переменная x) и втором (y) отсеках, при которых концентрация примеси в паре, выходящем из котла, была бы минимальна.

Исходные данные расчета (см. п. 1): величина продувки из котла (переменная Пр), суммарные коэффициенты выноса примеси по отсекам (отношение концентрации примеси в паре к концентрации примеси в котловой воде — K _p) и концентрация примеси в питательной воде (C _в — формальный параметр, не влияющий на результат, но участвующий в промежуточных выкладках).

Ключевое место расчета — аналитическое формирование функции C_п(x, y), возвращающей концентрацию пара в зависимости от парораспределения в отсеках:

Формируется функция C_п(x, y) с помощью оператора символьных преобразований: ¦ ¦, где первый операнд — это преобразуемое выражение, а второй — ключевое слово (или вертикальная цепочка ключевых слов), задающее направление преобразования (решение уравнения или системы как в задаче 3, упрощение выражения, раскрытие скобок, факторизация и т. д.). Данные операторы вводятся через нажатие соответствующих кнопок панели символьных преобразований.

В задаче 3 в п. 2 аналитически решаются относительно отмеченной переменной (параметр ключевого слова solve) составленные пользователем уравнения материального баланса примеси по отсекам: поступающая в отсек примесь (произведение концентрации на расход воды) частично уносится с паром, остальная часть продувается в соседний отсек. Возможное отложение примеси на внутренних поверхностях котла, равно как и вымывание примеси с поверхностей котла, в расчете не учитывается. Решения упрощаются (simplify) без вывода промежуточного результата и вручную (с некоторой модификацией) переносятся пользователем в оператор задания функции С_в1(x) := ¦. Так формируются три функции с именами С_вi, где i — номер отсека. После этого по уравнению материального баланса составляется целевая функция C_п(x, y).

Поиск минимума функции C_п(x, y) предваряется ее графическим анализом (п. 3):

График линий уровня показывает, что при x 0.9 и y 0.1 находится минимум, который уточняется (п. 4.1) через аналитическое решение системы двух алгебраических уравнений, составленных из частных производных функции C_п(x, y) и приравненных к нулю. Система Mathcad выдала восемь решений — координаты точек, где обе частные производные функции C_п(x, y) равны нулю (это могут быть минимумы, максимумы, седла). Один из корней системы (x = 0.891, y= 0.0912) — решение оптимизационной задачи.