Применение интеграла. 
Интеграл в области физики

I. В физике.

Работа силы (A=FScos, cos 1).

Если на частицу действует сила F, кинетическая энергия не остается постоянной. В этом случае согласно.

d (m²/2) = Fds

приращение кинетической энергии частицы за время dt равно скалярному произведению Fds, где ds — перемещение частицы за время dt. Величина.

dA=Fds

называется работой, совершаемой силой F.

Пусть точка движется по оси ОХ под действием силы, проекция которой на ось ОХ есть функция f (x) (f-непрерывная функция). Под действием силы точка переместилась из точки S₁(a) в S₂(b). Разобьем отрезок [a; b] на n отрезков, одинаковой длины x = (b — a)/n. Работа силы будет равна сумме работ силы на полученных отрезках. Т.к. f (x) — непрерывна, то при малом [a; x₁] работа силы на этом отрезке равна f (a) (x₁-a). Аналогично на втором отрезке f (x₁) (x₂-x₁), на n-ом отрезке — f (x_n-₁) (b-x_n-₁). Следовательно работа на [a; b] равна:

А A_n = f (a)x +f (x₁)x+ … +f (x_n-₁)x=

= ((b-a)/n) (f (a)+f (x₁)+ … +f (x_n-1))

Приблизительное равенство переходит в точное при n.

_b

А = lim [(b-a)/n] (f (a)+ … +f (x_n-₁))= f (x) dx (по определению).

^{n a}

Пример.

Пусть пружина жесткости С и длины l сжата на половину свой длины. Определить величину потенциальной энергии Ер равна работе A, совершаемой силой — F (s) упругость пружины при её сжатии, то.

_l/2

E_п = A= — (-F (s)) dx

Из курса механики известно, что F (s)= - Cs.

Отсюда находим.

_{l/2 l/2}

Е_п= - (-Cs) ds = CS²/2 | = C/2 l²/4

^{0 0}

Ответ: Cl²/8.

Координаты центра масс

Центр масс — точка через которую проходит равнодействующая сил тяжести при любом пространственном расположении тела.

Пусть материальная однородная пластина о имеет форму криволинейной трапеции {x; y |axb; 0yf (x)} и функция y=f (x) непрерывна на [a; b], а площадь этойкриволинейной трапеции равна S, тогда координаты центра масс пластины о находят по формулам:

_{b b}

x₀ = (1/S) x f (x) dx; y₀ = (½S) f ²(x) dx;

^{a a}

Примеры.

Центр масс.

Найти центр масс однородного полукруга радиуса R.

Изобразим полукруг в системе координат OXY.

Из соображений симметрии и однородности замечаем, что абсцисса точки M

x_m=0

Функция, описывающая полукруг имеет вид:

y = (R²-x²)

Пусть S = R²/2 — площадь полукруга, тогда.

_{R R}

y = (½S) (R²-x²) dx = (1/R²) (R²-x²) dx =

-^R —^R

_R

= (1/R²) (R²x-x³/3)|= 4R/3

-^R

Ответ: M (0; 4R/3)

Путь, пройденный материальной точкой Если материальная точка движется прямолинейно со скоростью =(t) и за время T= t₂-t₁ (t₂>t₁) прошла путь S, то.

_t2

S= (t) dt.

^t1