Аппроксимация экспериментальных данных полиномиальным уравнением

Цель работы: обработка экспериментальных результатов методом наименьших квадратов (МНК) и получение математического описания в виде уравнения регрессии.

регрессионный экспериментальный аппроксимация квадрат.

Краткая теоретическая часть

Регрессионный анализ используется в физико-химических исследованиях, чтобы аппроксимировать экспериментальные данные полиномиальным уравнением, либо определить значения параметров математического описания модели.

3.1.

Регрессионный анализ основан на аппроксимации зависимости у = f (х₁, х₂, …, x_n) полиномом вида:

Независимо от степени полинома он всегда может быть приведен к линейному виду.

(3.2).

или, после ввода фиктивной переменной x₀ = 1, к виду.

(3.3).

Задачей регрессионного анализа является определение коэффициентов b_j уравнения регрессии (3.2) по экспериментальным данным.

Коэффициенты уравнения регрессии (3.3) обычно рассчитывают методом наименьших квадратов (сокращенно МНК), который заключается в минимизации суммы квадратов отклонений экспериментальных значений функции у от рассчитанных по уравнению регрессии (3.3).

Выразим сумму квадратов отклонений экспериментальных значений у от рассчитанных по уравнению (3.3) в следующем виде:

(3.4).

где i? номер опыта, j? номер переменной x_j.

Из условия существования минимума функции F следует, что неизвестные коэффициенты b_j уравнения регрессии (3.3) можно найти, решив следующую систему нормальных уравнений.

После подстановки уравнений (3.3) и (3.4) в уравнения (3.5), получают систему линейных алгебраических уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных коэффициентов b_j.

Эту систему линейных уравнений обычно решают с помощью ЭВМ методом Гаусса.

Задание 1

На выходы бензина у₁ (% мас.) и газа у₂ (% мас.) при каталитическом крекинге влияют температура процесса х₁ (t? 440 °C), объемная скорость подачи сырья х₂ (ч^?1), кратность циркуляции катализатора х₃ (кг/кг). Результаты экспериментов приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1? Результаты каталитического крекинга нефтяного сырья.

Используя инструмент «Регрессия» надстройки «Анализ данных» пакета Excel, определить:

• а) коэффициенты уравнения регрессии y₁= f (x₁, x₂, x₃) и y₂ = f (x₁, x₂, x₃) 2? го порядка, не содержащего квадратичных членов;
• б) коэффициенты уравнений регрессии 2? го порядка, например, y = f (x₁, x₂) и y1 = f (x₂, x₃). (Индивидуальные задания выдаются преподавателем).
• в) определить относительную ошибку результатов расчета по полученному уравнению по сравнению с экспериментальными данными.

Результаты:

а) Уравнения регрессии y₁= f (x₁, x₂, x₃) и y₂ = f (x₁, x₂, x₃) 2? го порядка, не содержащего квадратичных членов:

y=b₀ •x₀+b₁•x₁+b₂•x₂+b₃•x₃+b₄•x₁₂+b₅•x₁₃

y₁=-7,60+0,49•x₁+18,58•x₂-5,50•x₃-1,03•x₄+0,53•x₅

y₁=2,90+1,75•x₁+30,60•x₂-3,00•x₃-1,76•x₄+0,25•x₅

Для y1

Для y₂:

б) Уравнения регрессии 2? го порядка, например, y = f (x₁, x₂) и y1 = f (x₂, x₃).

Y₁=b₀• x₀+b₁•x₁+b₂•x₂+b₁₂•x₁•x₂+b₁₁•x₁²+b₂₂•x₂²

Y₂=b₀• x₀+b₂•x₂+b₃•x₃+b₂₃•x₂•x₃+b₂₂•x₂²+b₃₃•x₃²

Y₁=12,07+2,68•x₁+0•x₂-2,18•x₁•x₂+0•x₁²+16,05•x₂₂²

Y₂=-78,53+138,95•x₁+0•x₂±75,16•x₂•x₃-7,14•x₂²+28,23•x₃²

Для Y₁:

Для Y₂:

Задание 2

Экспериментальные данные зависимости молярной теплоемкости ацетилена от температуры при P=1 атм. приведены в таблице 3.2.

Таблица 3.2? Теплоемкость ацетилена в интервале температур от 300 до 1000 К .

Используя инструмент «Регрессия» надстройки «Анализ данных» пакета Excel, определить:

• а) определить коэффициенты уравнений регрессии при аппроксимации экспериментальных данных полиномами 1- й и 2? й степени;
• б) построить в Excel зависимость С^о_р= f (T). На график нанести экспериментальные точки, а кривые провести в соответствии с полученными уравнениями регрессии. Сделать вывод о том, какой полином является наилучшим для аппроксимации экспериментальных данных.

Результаты:

А) C_p^o=b₀•x₀+b₁•x₁=7,88+0,008•T.

x₀=1.

x₁=T.

b₀ =7,88.

b₁ =0,008.

Б) C_p^o=b₀•x₀+b₁•x₁+ b₂•x₂=5,84+0,02•T+0•T²

x₀=1.

x₁=T.

x₂=T²

b₀ =5,84.

b₁ =0,02.

b₂ = 0,00.

Задание 3

Зависимость степени превращения (в % масс.) н? бутана в н? бутены и бутадиен?1,3 от температуры при давлении 0,17 атм представлена в таблице 3.3.

Таблица 3.3? Зависимость степени превращения н? бутана в н? бутены и бутадиен?1,3 от температуры.

Используя инструмент «Регрессия» надстройки «Анализ данных» пакета Excel, определить:

• а) коэффициенты уравнений регрессии 1? й, 2? й и 3? ей степени;
• б) построить в Excel графики зависимости степени превращения бутана в н? бутены и в бутадиен: точки нанести в соответствии с экспериментом, кривые провести в соответствии с полученными уравнениями. Сделать вывод об адекватности уравнений.
• в) рассчитать относительное отклонение расчетных данных от экспериментальных.

Результаты:

Y₁=b₀•x₀+b₁•x₁=222,35−0,27•T.

x₀=1.

x₁=T.

b₀ =222,35.

b₁ =-2,27.

Y₁=b₀•x₀+b₁•x₁+ b₂•x₂=-46,04+0,56•T+0•T²

x₀=1.

x₁=T.

x₂=T²

b₀ =-46,04.

b₁ =0,56.

b₂ = 0,00.

Y₁=b₀•x₀+b₁•x₁+ b₂•x₂+ b₃•x₃=-2916,44+13,99•T-0,02•T²+0•T³

x₀=1.

x₁=T.

x₂=T²

x₃=T³

b₀ =-2916,44.

b₁ =13,99.

b₂ = -0,02.

b₃ = 0,00.

Выводы

• 1) Чем больше экспериментальных данных, тем точнее можно определить коэффициенты уравнения регрессии и тем точнее будут данные полученные в ходе решения полученного уравнения.
• 2) Чем выше порядок уравнения, тем точнее данные полученные в ходе решения полученного уравнения (наглядно показано на графиках).
• 3) Если экспериментальных данных мало — увеличение степени уравнения увеличивает точность.
• 4) Чем больше коэффициент b_n при переменных x_n, тем сильнее зависимость Y от данного параметра.

В. А. Любименко, А. П. Семенов, В. М. Виноградов, В. А. Винокуров./Моделирование химико-технологических процессов: Методические указания к лабораторным работам по курсу «Моделирование химико-технологических процессов"/ М.: РИЦ РГУ нефти и газа имени И. М. Губкина, 2013.? 67 c.