Синтез оптимального управления методом Калмана

Система задана уравнениями возмущенного движения:

y₁=y₂;

y₂=y₃; (4.1).

y₃=-b₃y₃-b₂y₂-b₁y₁-mU.

Запишем эту систему в матричном виде.

Y= B Y+M U (4.2).

В качестве критерия оптимальности выберем квадратичный функционал:

(4.3).

В соответствии с методом Калмана предполагается, что управление U ищется в форме:

U=C^-1 M^T P (t) Y (4.4).

где С ^-1 — обратная матрица С;

P — решение алгебраического уравнения Рикатти, которое имеет вид:

P B+B^TP+A-P M C^-1M^T P=0 (4.5).

В соответствии с системой (1.1) матрица состояния объекта будет иметь вид:

0 1 0.

B =0 0 1.

— b₁ -b₂ -b₃

Матрица управления имеет вид:

М= 0;

m.

a₁ 0 0 p₁₁ p₁₂ p₁₃ c₁ 0 0.

A= 0 a₂ 0; P= p₂₁ p₂₂ p₂₃; C= 0 c₂;

0 0 a₃ p₃₁ p₃₂ p₃₃ 0 0 c₃

Подставляя уравнение (4.5) и решая это уравнение получим симметричную матрицу Р в которую входят неизвестные коэффициенты р₁₃, р₂₃, р₃₃, которые и являются коэффициентами оптимального управления матрицы:

Система для определения коэффициентов р₁₃, р₂₃, р₃₃ имеет вид:

(4.6).

С помощью программы MathCad решаем систему (4.6), в результате чего получим значения коэффициентов р₁₃, р₂₃, р₃₃ :

р₁₃ = 523,14; р₂₃ = 359,24; р₃₃ = 35,21.

Оптимальное управление найдем путем подстановки коэффициента оптимального управления в уравнение (4.4):

U=-m (р₁₃ x₁+ р₂₃ x₂+р₃₃ x₃) (4.7).

Полученные коэффициенты регулятора равны:

m₁=15 170.3; m₂=523.14; m₃=359.24.