Основные теоремы математического анализа, которые широко используются при исследовании функции, построении ее графика.
По теореме Ферма: из дифференцируемости функции f (x) в точке локального экстремума х0 следует, что f '(x0) = 0.
Данное условие является необходимым условием существования в точке локального экстремума, то есть если в точке х0 — экстремум функции f (x) и в этой точке существует производная, то f '(x0) = 0.
Точки х0, в которых f '(x0) = 0, называются стационарными точками функции.
Равенство нулю производнойв точке не является достаточным для существования локального экстремума в этой точке.
Пример: у = х3, у' = 3×2, у'(0) = 0, но в точке х0 = 0 нет экстремума.
Рисунок 5 График функции у=х3.
Точками, подозрительными на экстремум функции f (x) на интервале (a, b), являются точки, в которых производная существует и равна 0 либо она не существует или равна бесконечности. На рисунках функции имеют минимум в точке х0 = 0:
Рисунок 6 Функции экстремума.
f '(0) = 0 f '(0) = $ f '(0) = Ґ.
Рассмотрим достаточные условия существования в точке локального экстремума, которые позволят ответить на вопрос: «Есть ли в точке экстремум и какой именно — минимум или максимум».
Теорема (первое достаточное условие экстремума). Пусть непрерывная функция f (x) дифференцируема в некоторойпроколотойокрестности U (x0) точки х0(проколотая окрестность означает, что сама точка х0выбрасывается из окрестности) и непрерывна в точке х0. Тогда:
1) если.
(2.10).
то в точке х0 — локальный максимум;
2) если.
(2.11).
то в точке х0- локальный минимум.
Доказательство, из неравенств (10−11) и следствия теоремы Лагранжа (о монотонности функции) следует, что при х х0 функция не возрастает, то есть:
где,.
где, (12).
Следовательно, из (12) получаем, что в точке х0 функция имеет локальный максимум.
