Определение и свойства локального экстремума функции

Функция достигает в точке локального максимума (минимума), если можно указать такое, что ее приращение в точке удовлетворяет неравенству:

.

соответственно:

По теореме Ферма, если функция достигает в точке локального экстремума и в этой точке производная существует, то она равна нулю:

.

По определению точка называется стационарной для функции, если в ней производная от существует и равна нулю .

Если задана на некотором интервале функция, и надо найти все ее точки локального экстремума, то их, очевидно, надо искать среди, во-первых, стационарных точек, т. е. таких, в которых производная существует и равна нулю и, во-вторых, среди точек, где не имеет производной, если таковые на самом деле имеются. Стационарные точки находятся из уравнения:

(1).

которое надо решить. Конечно, не всякая стационарная точка функции есть точка локального экстремума .

Условие (1) является необходимым для того, чтобы дифференцируемая функция имела в точке локальный экстремум, но недостаточным. Например, есть стационарная точка функции, но в ней эта функция возрастает.

Очевидно также, что не всякая точка, где не имеет производной, есть точка локального экстремума .

Так или иначе, если нам уже известно, что есть стационарная точка или точка, где производная от не существует, нам нужны критерии распознавания, будет ли действительно эта точка точкой локального экстремума, а если будет, то какого — максимума или минимума.

Ниже мы приводим достаточные критерии локального экстремума.

Теорема 1. Пусть — стационарная точка функции (т.е.) и имеет вторую непрерывную производную в окрестности. Тогда: если, то есть точка локального максимума; если же, то есть точка локального минимума .

Доказательство. Разложим по формуле Тейлора по степеням при. Так как, то формула Тейлора функции в окрестности точки имеет вид:

. (2).

В этой формуле может быть .

Пусть. Так как производная по условию непрерывна в окрестности, то найдется такое, что:

.

Но тогда остаточный член в формуле (2):

.

что показывает, что:

.

локальный экстремум стационарный т. е. имеет в локальный максимум.

Аналогично, если, то в некоторой окрестности и. Поэтому остаточный член формулы (2) в окрестности неотрицательный, а вместе с ним и, т. е. имеет в локальный минимум.

Теорема 2. Пусть и, и непрерывна в окрестности точки, тогда:

— если — четное и, то имеет в локальный максимум;

• — если — четное и, то имеет в локальный минимум;
• — если — нечетное и, то заведомо не имеет в локального экстремума.

Доказательство этой теоремы снова основано на применении формулы Тейлора. Имеем:

. (3).

В случае если — четное, рассуждаем в точности так же, как в случае формулы (2). Пусть теперь — нечетное, и пусть, как было предположено,. Вследствие непрерывности в окрестности существует интервал, на котором сохраняет знак. Если будет возрастать в окрестности слева направо, то при переходе через переменит знак, а будет сохранять один и тот же знак. Это показывает, что правая часть (4) и, следовательно, при переходе через меняет знак и экстремум в невозможен.

Теорема 3. Пусть функция непрерывна на отрезке и имеет производную отдельно на интервалах и. При этом:

(4).

. (5).

Тогда есть точка локального максимума (минимума) функции .

Здесь не обязательно предполагается, что существует.

Доказательство. Из непрерывности на отрезке и свойства (4) следует, что не убывает (не возрастает) на этом отрезке и, следовательно:

. (6).

А из непрерывности на и свойства (5) следует:

. (7).

Но тогда из (6) и (7) следует:

.

и мы доказали теорему 3.

Теорема 3 утверждает, что если первая производная функции при переходе через точку меняет знак, то имеет в точке минимум, если знак меняется (при возрастании !) с на, и максимум, если он меняется с на. При этом не обязательно, чтобы существовала. Но требуется, чтобы была непрерывна в точке .

Теорема 4. Пусть функция удовлетворяет условиям и. Тогда в точке имеет локальный минимум (максимум).

Доказательство. Так как:

.

то на основании теоремы 2 § 3.2 в достаточно малой окрестности точки, т. е. для и для. По теореме 3 заключаем, что в точке локальный минимум. Случай исследуется аналогично.

Замечание 1. Теорема 4 содержит в себе теорему 1 как частный случай, потому что в ней не предполагается, что непрерывна в окрестности точки. Требуется лишь существование .