Метод Эйлера.
Численное интегрирование
Метод Эйлера являлся исторически первым методом численного решения задачи Коши. О. Коши использовал этот метод для доказательства существования решения задачи Коши. Ввиду невысокой точности и вычислительной неустойчивости для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко. Однако в виду своей простоты метод Эйлера находит свое применение в теоретических исследованиях… Читать ещё >
Метод Эйлера. Численное интегрирование (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Простейшим из численных методов решения дифференциальных уравнений является метод Эйлера. Это один из самых старых и широко известных методов. Метод Эйлера является сравнительно грубым методом решения дифференциальных уравнений, однако идеи, положенные в его основу, являются, по существу, исходными для очень широкого класса численных методов.
Описание метода:
Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка.
где функция определена на некоторой области. Решение ищется на интервале. На этом интервале введем узлы.
Приближенное решение в узлах, которое обозначим через определяется по формуле Эти формулы обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
Оценка погрешности:
Метод Эйлера является методом первого порядка. Если функция непрерывна в D и непрерывно дифференцируема по переменной в, то имеет место следующая оценка погрешности Где — средний шаг, то есть существует такая, что Заметим, что условия гладкости на правую часть, гарантирующие единственность решения задачи Коши, необходимы для обоснования сходимости метода Эйлера.
Значение метода:
Метод Эйлера являлся исторически первым методом численного решения задачи Коши. О. Коши использовал этот метод для доказательства существования решения задачи Коши. Ввиду невысокой точности и вычислительной неустойчивости для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко. Однако в виду своей простоты метод Эйлера находит свое применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задач вариационного исчисления и ряда других математических проблем.
Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Задача Коши.
Задание: Найти приближенные значения решения обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) на отрезке с шагом при начальном условии используя метод Эйлера Для тестовых примеров найти относительные погрешности и сравнить полученные результаты. Построить графики точного и численного решений.
Оценить погрешность приближенного решения заданного уравнения в выбранной точке, построить график численного решения.
