Нормальное распределение. 
Исследование алгоритма SSA-метода при анализе временных последовательностей данных с шумом по известному закону распределения

Описание Нормального закона распределения

Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности:

Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса.

Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения.

Можно легко показать, что параметры и, входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Х.

Найдем функцию распределения F (x).

График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса.

Нормальная кривая обладает следующими свойствами:

• 1) Функция определена на всей числовой оси.
• 2) При всех х функция распределения принимает только положительные значения.
• 3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т.к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю.
• 4) Найдем экстремум функции.

Т.к. при y' > 0 при x < m и y' m, то в точке х = т функция имеет максимум, равный:

• 5) Функция является симметричной относительно прямой х = а, т.к. разность (х — а) входит в функцию плотности распределения в квадрате.
• 6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности.

При x = m + s и x = m — s вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т. е. в этих точках функция имеет перегиб. В этих точках значение функции равно:

Построим график функции плотности распределения.

Построены графики при т =0 и трех возможных значениях среднего квадратичного отклонения s = 1, s = 2 и s = 7. Как видно, при увеличении значения среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается.

Если, а > 0, то график сместится в положительном направлении, если, а < 0 — в отрицательном.

При, а = 0 и s = 1 кривая называется нормированной. Уравнение нормированной кривой:

Программа для генерации случайных нормальных чисел

#include.

#include.

#include.

#include.

double random (double min, double max);

double Shum (double Disp);

void main ().

{.

double Disp;

cin>>Disp;

fstream fl;

fl. open («gauss. txt», ios: out);

for (int i=0; i<43; i++).

fl<<

fl. close ();

}.

double Shum (double Disp).

{.

double v1, v2;

for (int i=0; i.

v1=random ((-2*30), (3*20));

v2=random (0,1);

if (v2<= (exp (-v1*v1/ (2*20))))

return v1*sqrt (Disp/20);

}

return 0;

}

double random (double min, double max)

{

return min + (max-min) * static_cast (rand ()) /RAND_MAX;

Таблица 1.1 — Случайные числа по нормальному закону распределения.

Объем выборки равен 43. Это ограничение обусловлено последующим использованием пакета MathCAD, в котором общее число элементов матрицы не должно превышать числа 600.