Представление многопризнаковых объектов

Многопризнаковые объекты A_i, i=1,…, n обычно принято представлять как векторы или кортежи q_i=(q_i1^e1,…, q_im^em) в пространстве.

Q=Q₁…Q_m,.

где Q_s={q_s^es} - непрерывная или дискретная шкала s-го признака, e_s=1h_s, s=1,…, m. Ситуация существенным образом усложняется, если одному и тому же объекту A_i может соответствовать не один, а несколько m-мерных векторов с различающимися значениями признаков. Подобные ситуации возникают, например, когда объект A_i оценивается k независимыми экспертами по m критериям, или когда необходимо одновременно учесть m параметров объекта A_i, измеренных k различными способами. В таких случаях объект A_i представляется в m-мерном пространстве Q уже не одним вектором q_i, а группой, состоящей из k векторов {q_i⁽¹⁾,…, q_i^(k)} вида q_i^(j)=(q_i1^e1(j),…, q_im^{em (j)}), j=1,…, k, которая должна рассматриваться как единое целое. При этом, очевидно, измеренные разными способами значения параметров, как и индивидуальные оценки, данные экспертами, могут быть похожими, различающимися и даже противоречивыми, что в свою очередь может приводить к несравнимости m-мерных векторов q_i^(j), характеризующих один и тот же объект A_i.

Совокупность таких «составных» объектов может иметь в пространстве Q сложную структуру, достаточно трудную для анализа. Непросто ввести в этом пространстве и метрику для измерения расстояний между объектами. Указанные трудности можно преодолеть, если воспользоваться иным способом представления многопризнаковых объектов, основанным на формализме мультимножеств [Петровский, 2003], который позволяет одновременно учесть различные комбинации значений количественных и качественных признаков, а также их многозначность. Введем вместо прямого произведения m шкал признаков Q=Q₁…Q_m обобщенную шкалу признаков — множество G=Q₁…Q_m, состоящее из m групп признаков, и представим объект A_i в таком символическом виде:

A_i = {k_Ai(q₁¹)?q₁¹,…, k_Ai(q₁^h1)?q₁^h1,…, k_Ai(q_m¹)?q_m¹,…, k_Ai(q_m^hm)?q_m^hm}. (1).

где число k_Ai(q_s^es) указывает, сколько раз признак q_s^esQ_s встречается в описании объекта A_i, знак? обозначает кратность вхождения признака q_s^es. Например, при многокритериальной оценке объекта A_i несколькими экспертами число k_Ai(q_s^es) равно числу экспертов, давших объекту A_i оценку q_s^es по критерию Q_s. Множество G характеризует свойства совокупности объектов A={A₁,…, A_n}. Объект A_i можно записать и более компактно как A_i={k_Ai(x₁)?x₁,…, k_Ai(x_h)?x_h}, определив элементы множества G={x₁,…, x_h} следующим образом:

x₁=q₁¹, x₂=q₁²,…,=q₁^h1,.

=q₂¹,…,=q₂^h2,…,.

=q_m¹,…,=q_m^hm,.

где h=h₁+…+h_m. Такая запись объекта A_i представляет его как множество с повторяющимися элементами x_jG или мультимножество. Функция числа экземпляров мультимножества k_A:GZ₊={0,1,2,…} определяет кратность вхождения элемента x_iG в мультимножество А.