Число элементов объединения и разности двух конечных множеств

Пусть A и B — конечные множества. Число элементов множества A условимся обозначать символом m (A) и называть численностью множества A.

Определим численность объединения множеств A и B.

Если множества A и B не пересекаются то m (AB) = m (A) + m (B). Таким образом, численность объединения конечных непересекающихся множеств равна сумме численностей этих множеств.

Если множества A и B пересекаются, то в сумме m (A) + m (B) число элементов пересечения AB содержится дважды: один раз в m (A), а другой — в m (B). Поэтому, чтобы найти численность объединения m (AB), нужно из указанной суммы вычесть m (AB). Таким образом:

m (AB) = m (A) + m (B) — m (AB).

Определим теперь численность разности множеств A и B.

Если множества A и B не пересекаются то A B = A, и поэтому m (AB) = m (A).

Если множества A и B пересекаются, то m (AB) = m (A) — m (AB).

Если В А, то AB = B, и, следовательно, m (AB) = m (A) — m (B).

Нам известно, как находят объединение двух конечных непересекающихся множеств. Например, если, А = {х, у, z}, а В = {k, l, m, p}, то А? В ={х, у, z, k, l, m, p}. Чтобы ответить на вопрос: «Сколько элементов в полученном множестве?», достаточно пересчитать их.

А как определить число элементов в объединении конечных множеств, не образуя его и не обращаясь к пересчету элементов?

Условимся предложение «Множество, А содержит, а элементов» записывать в таком виде: n (А) = а. Например, если, А = {х, у, z}, то утверждение «Множество, А содержит три элемента можно записать так: n (А) = 3.

Можно доказать, что в множестве, А содержится, а элементов, а в множестве В — b элементов и множества, А и В не пересекаются, то в объединении множеств, А и В содержится, а +b элементов, т. е.

n (АВ) = n (А) + n (В) = в + b. (1).

Это правило нахождения числа элементов в объединении двух конечных непересекающихся множеств, его можно обобщить на случай t попарно непересекающихся множеств, т. е. если множества А?, А?, …, А t попарно не пересекаются, то n (А?? А?? ??? Аt) =n (А?) + n (А?) + … + n (Аt).

Для выше описанных множеств n (А) = 3, n (В) = 4. Видим, что А? В =?. Тогда n (А?В) =n (А) +n (В) = 3 + 4 = 7.

Нетрудно убедиться в том, что если В? А, то n (ВґА) = n (А) — n (В), т. е. число элементов дополнения подмножества В до конечного множества, А равно разности численностей этих множеств.

Пусть, например, А = {х, у, z, p, t}, а В = { х, p, t}. Получаем n (А) = 5, n (В) = 3. Тогда n (ВґА) =n (А) -n (В) = 5 — 3 = 2.

Формула (1) позволяет находить число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств. А если множества, А и В имеют общие элементы, то как найти число элементов в их объединении?

Пусть, например, А = {х, у, z}, а В = {х, z, р, s, k}. Тогда А? В = {х, у, z, р, s, k}, т. е.n (А) = 3, n (В) = 5, аn (А? В) = 2 и, значит, общие элементы множеств, А и В в объединении этих множеств записаны только один раз.

В общем виде правило подсчета элементов в объединении двух конечных множеств может быть представлено в виде формулы:

n (А?В) = n (А) + n (В) — n (А? В).(2).

Полученные формулы для подсчета числа элементов в объединении двух и более множеств можно использовать для решения текстовых задач следующего вида.

Задача. Из 40 студентов курса 32 изучают английский язык, 21 — немецкий язык, а 15 — английский и немецкий языки. Сколько студентов курса не изучает ни английский, ни немецкий языки?

Решение. Пусть, А — множество студентов курса, изучающих английский язык, В — множество студентов курса, изучающих немецкий язык, С — множество всех студентов курса. По условию задачи: n (А) = 32, n (В) = 21, n (А? В) = 15, n© = 40. Требуется найти число студентов курса, не изучающих ни английского, ни немецкого языка.

• 1 способ.
• 1) Найдем число элементов в объединении данных множеств, А и В. Для этого воспользуемся формулой (2):

n (А?В) =n (А) +n (В) -n (А? В) = 32 + 21 — 15 = 38.

• 2) Найдем число студентов курса, которые не изучают ни английский, ни немецкий языки: 40 — 38 = 2.
• 2 способ.
• 1) Изобразим данные множества при помощи кругов Эйлера и определим число элементов в каждом из непересекающихся подмножеств (рисунок).

Рис. 2.

Так как в пересечении множеств, А и В содержится 15 элементов, то студентов, изучающих только английский язык, будет 32 — 15 = 17, а студентов, изучающих только немецкий язык, 21 — 15 = 6. Тогда n (А?В) = 17 + 15 + 6 = 38, и, следовательно, число студентов курса, которые не изучают ни английский, ни немецкий языки, будет 40 — 38 = 2.