Средние величины и показатели вариации

Средняя величина представляет собой обобщенную характеристику уровня значений признака, которая получена в расчете на единицу совокупности.

Средняя величина всегда именованная. Она имеет ту же размерность, что и признак у отдельных единиц совокупности.

В экономических исследованиях и плановых расчетах применяются две категории средних: степенные средние и структурные.

К степенным средним относятся: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя квадратическая, средняя геометрическая.

Формула средней определяется значением степени применяемой средней. С увеличением показателя степени k возрастает соответственно средняя величина. Каждая из этих средних может быть рассчитана как простая и взвешенная. Взвешенная применяется в тех случаях, когда отдельные значения признаков повторяются. Например:

Средняя арифметическая (k =1):

Взвешенная.

,.

где х — значение признака; f — повторяемость значений признака (частота); n — численность единиц совокупности (f_i = n).

К структурным средним относятся мода и медиана.

Мода — это значение признака (варианта), которое чаще всего встречается в исследуемой совокупности и имеет наибольшую частоту.

Медиана — это значение признака (варианта), которое находится в середине вариационного ряда распределения и делит его пополам.

В интервальном вариационном ряду мода рассчитывается по формуле:

,.

где xмо — нижняя граница модального интервала; — величина модального интервала; fмо, fмо-1, fмо+1 — соответственно частота модального интервала; предшествующего модальному; следующая за модальным.

В интервальном вариационном ряду медиана рассчитывается по формуле: статистический арифметический квадратический геометрический.

.

где xме — нижняя граница медианного интервала; — величина медианного интервала; Sме-1 — сумма накопленных частот, предшествующих медианному; fме — частота медианного интервала.

Для характеристики структуры вариационного ряда дополнительно к медиане исчисляются квартили, которые делят ряд по сумме частот на четыре равные части; квинтили — на пять равных частей; децили — на десять равных частей и перцентили — на сто равных частей.

Для характеристики типичности, надежности средней величины, найденной для данной совокупности, и однородности самой совокупности используют показатели вариации признака.

К абсолютным характеристикам вариации относятся: размах вариации (R); среднее линейное отклонение (l); дисперсия (у2) и среднее квадратическое отклонение (у).

Размах вариации ®:

R= x_max — x_min,.

где x_max, x_min — соответственно максимальное и минимальное значение признака;

среднее линейное отклонение (l):

.

где x — значение признака совокупности; — средняя величина признака в совокупности; n — число единиц совокупности;

дисперсия (у2):

.

среднее квадратическое отклонение (у):

.

Размах вариации учитывает только крайние значения признака и не учитывает все промежуточные. Дисперсия не имеет единиц измерения. Равные значения средних квадратических отклонений, рассчитанных для разных совокупностей, не позволяют делать вывод об одинаковой степени вариации.

Относительные характеристики вариации рассчитываются как отношение абсолютных показателей степени вариации к среднему уровню изучаемого признака.

Относительный размах вариации (коэффициент осцилляции):

.

Относительное линейное отклонение:

.

Коэффициент вариации.

.

Наиболее часто применяется коэффициент вариации. Его применяют не только для сравнительной оценки вариации, но и для характеристики однородности совокупности. Если его величина не превышает 33%, то можно сделать вывод об относительно невысокой колеблености признака, о типичности, надежности средней величины, об однородности совокупности.

По данным об объеме продаж однокомнатных квартир на городских рынках жилья (табл.) определить:

• — среднюю цену продажи однокомнатных квартир двумя способами;
• — структурные средние величины (мода, медиана) расчетным и графическим способом;
• — характер распределения признака в совокупности;
• — показатели вариации, сделать подробные выводы.

Все расчеты показывать табличным способом, с помощью расчетных граф.

Таблица 6 — Объём продаж однокомнатных квартир на городских рынках жилья.

Цена продажи однокомнатной квартиры, тыс.руб.	Объем продаж. (f).	Середина (x).	xf.
До 500.	;
500−700.
700−900.
900−1100.
1100−1300.
1300−1500.
1500−1700.
1700 и более.
Итого.

Средняя арифметическая взвешенным способом:

,.

Мода:

.

Медиана:

,.

Для одномодального симметричного ряда средние арифметические, медиана и мода совпадают. Для ассиметричного — нет.

Отсюда делаем вывод о том, что рассматриваемый ряд ассиметричен.

Для умеренной асимметрии работает формула:

,.

,.

Делаем вывод о том, что асимметрия неумеренная.

Изобразим моду и медиану графически.

Мода: для изображения моды используем гистограмму. Из верхних углов самого высокого значения проведем прямые к ближним углам соседних значений. Из места их пересечения проведем вниз перпендикуляр. Этот перпендикуляр показывает значение моды на оси ОХ (729).

График 3 — Гистограмма моды.

Медиана:

Для построения медианы используем график. Вдоль оси ОХ отложим значения цен, а по оси ОУ — возрастающую шкалу объема продаж. Из У=38 проведем пунктир параллельно оси ОХ. Из точки его пересечения с кривой опустим вниз перпендикуляр. Это и будет медиана (753,33).

График 4 — График медиана.

Размах вариации.

R= x_max — x_min = 1800 — 400 = 1400.

Среднее линейное отклонение.

.

Дисперсия.

.

Среднее квадратическое отклонение.

,.

Относительный размах вариации (коэффициент осцилляции):

,.

Относительное линейное отклонение:

,

Коэффициент вариации.

.

Так как коэффициент вариации у нас больше 33%, то можно сделать вывод об неоднородности совокупности.