Аппроксимация граничных условий в случае, когда на границе задано значение производной

До сих пор мы рассматривали краевые задачи с граничными условиями первого рода, когда решение принимает некоторые заданные значения в граничных точках. Моделирование различных физических процессов часто приводит к краевым задачам, где в граничных точках задаются значения производных решения (например, граничные условия второго и третьего рода для дифференциальных уравнений второго порядка). В качестве примера рассмотрим построение разностной схемы для следующей краевой задачи:

Разностная аппроксимация дифференциального оператора аналогична выражению (7.44):

Очевидный способ аппроксимировать du/dx в точке а использовать разность вперед.

Однако это выражение аппроксимирует производную в точке а с порядком h, в то время как выражение (7.54) аппроксимирует дифференциальное уравнение с порядком h². Это значит, что разностная схема (7.54) и (7.55) имеет аппроксимацию только первого порядка. Таким образом, менее точная аппроксимация лишь в одной точке снижает точность всего решения. Поэтому необходимо построить более точное приближение для производной в граничной точке.

Для этого введем фиктивный узел х_ = а — h, что дает нам возможность использовать центральную разность для аппроксимации граничного условия du/dx = а с порядком А²:

Для того чтобы исключить неизвестную величину и_, запишем выражение (7.54) для п = 0:

После подстановки (7.56) в предыдущее выражение мы окончательно получим.

Для вычисления приближенного решения задачи (7.53), необходимо решить систему (7.45), предварительно заменив первое уравнение в этой системе на уравнение.

Рассмотренный нами пример является простейшей реализацией более общего подхода, который называется методом фиктивных областей. Этот метод успешно используется в различных задачах для аппроксимации производных в граничных точках.

Пример 7.11 (аппроксимация граничных условий второго рода) Рассмотрим следующую простую задачу:

Если мы используем выражение (7.55) для аппроксимации граничного условия в точке х = 0, то приближенное решение будет заметно отличаться от точного решения, как показано на рис. 7.13, с относительной ошибкой.

Рис. 7.13. Решение задачи (7.58):

—точное решение;——приближенное решение.

Для аппроксимации граничного условия использовалось выражение (7.55).

Более точная аппроксимация (7.57) позволяет значительно уменьшить эту ошибку: в этом случае е_г = 4.1 • 10 ‘.