Абелевы группы. 
Дискретный анализ. 
Основы высшей алгебры

В этом разделе мы полностью опишем структуру конечно порожденных абелевых групп. Группа А называется конечно порожденной, если она порождается конечным множеством своих элементов: А = (В), В < ос.

При работе с абелевыми группами удобнее использовать аддитивную запись. Поэтому (а также по более важным причинам) прямые произведения абелевых групп называются пря- мыми суммами.

Дадим определение прямой суммы абелевых групп, переписав с необходимыми изменениями в обозначениях определение прямого произведения из примера 1.35.

Прямой суммой абелевых групп А[, Ач называется группа А] 0 Ач, элементами которой являются все пары (ад,#2), где ад 6 Ai, Х2 € Л2. Групповая операция в А 0 Л₂ — это покомпонентное выполнение операций в А и Ач'. (ад, 3:2) + + (2/1.2/г) = (ж, + уъ Х2 + 2/2)?

Аналогично определяется прямая сумма нескольких групп Ль Л2, Л_п, которая обозначается А 0 Л2 0 … 0 А_п. Это множество наборов (ад,…, аг_п), где ад € Ль, а групповая операция на нём — покомпонентное сложение

Проверка групповых аксиом не составляет труда: нулевым элементов группы Ai ф А₂ ф … 0 А_п является набор (Oi,…, 0_Г,); ассоциативность непосредственно вытекает из ассоциативности операций в компонентах; элемент, противоположный элементу (жх,…, ж_п), записывается как (—жх,…, —ж_п).

Прямая сумма п экземпляров одной и той же группы А обозначается А^и. Мы уже встречали прямые суммы абелевых групп в примерах: группа из примера 1.5 есть не что иное, как а. группа из примера 1.21 и была обозначена как Ш².

Основные примеры абелевых групп — циклическая группа С_п порядка п и циклическая группа Z бесконечного порядка, которая есть просто аддитивная группа целых чисел.

Теорема 1.69. Любая конечно порожденная аб&нева группа изомо]фна прямой сумме циклических групп.

Замечание 1.70. Не все абелевы группы конечно порождены. Например, группа рациональных чисел Q относительно сложения не является конечно порожденной. Рассмотрим подгруппу {<а, а₂,…, а"), порожденную конечным набором рациональных чисел ах, а₂, .а_п. Любой элемент этой группы выражается как линейная комбинация чисел а* с целыми коэффициентами:

Поэтому знаменатель несократимой записи ж не превосходит произведения знаменателей а_г, которое мы обозначим N. Поэтому число (N 4- I)^-1 не принадлежит группе (ах, а₂,…, а_п).

Для построения изоморфизма из теоремы 1.69 удобно выделить структуру прямой суммы «внутри» группы А. Для этого введем новые понятия суммы подгрупп и прямой суммы подгрупп.

Абелева группа, А = Ах + А₂ -!-••• + А_п, порожденная подгруппами А], А₂, …, А_п называется суммой подгрупп (или разлоэюепием группы на подгруппы). Если при этом для любого элемента a € А существует единственный набор таких.

ai? Ai, что а = а + а₂ Н——-Ь а_п, то группа А + А₂ Ч——-1— А_п

называется прямым разложением группы на подгруппы (или прямой суммой).

Утверждение 1.71. Если А = А]_ + А₂ + • • • 4- А_п — прямое разложение абелевой группы, то, А = А ф А₂ ф … Ф А_п.

Доказательство. Искомый изоморфизм имеет вид.

В силу определения прямого разложения отображение ip корректно определено и взаимно однозначно. Проверим, что ip сохраняет операцию: если а = а + а₂ + • • • 4- о*, где ^ai € Ai, а 6 = 61 + 6₂ + • • • + Ь_п, где hi G то а + Ь = («х + 6х) + +{а>2 + Ь₂) + • • • + (вп + 6_П) (здесь использована коммутативность), т. е. </?(а -1−6) = (а + 61, а₂ + 6₂,…) = (ах,…, а_п) + + (6_Ь…, 6_П) = <�р{а) + <�р (Ь). ?

Замечание 1.72. В случае неабелевых групп существование разложения в произведение подтруни не гарантирует, что группа изоморфна прямому произведению подгрупп. Пусть II < G, К < G, IIПК = {е} и НК = G. В этом случае говорят, что группа разлагается в полупрямое произведение подгрупп Я и К (обозначение G = Н X К). Для полупрямых произведений не выполняется аналог утверждения 1.71. Например,.

(сравни с замечанием 1.68).

Теперь разберемся, какие соотношения могут быть между порождающими конечно порожденной абелевой группы А = = (&1,02,…"о_п). Поскольку группа коммутативна, любое соотношение можно записать в виде.

объединяя все слагаемые вида а_г. Соотношение (1.12) будем задавать набором с = (cj,…, c_n) его коэффициентов. Если Сх,…, с* — соотношения, то xiC Н——-fa?* с*, Xj € Z, — также соотношение, которое мы будем называть следствием соотношений С,…, Ck (здесь -1- обозначает покомпонентную сумму целочисленных наборов). Поэтом}' множество всех соотношений между порождающими группы А является подгруппой R группы Zⁿ. Поскольку каждый элемент группы А можно записать в виде целочисленной комбинации порождающих, то неудивительно следующее утверждение.

Утверждение 1.73. Во введенных выше обозначениях, А = Z ⁿ/R.

Пример 1.74. Пусть А = С_П1 0 С_Л2 0 … 0 С_Пг. Обозначим через а_г порождающий элемент группы С_щ. Множество {а,-} порождает А. По определению прямой суммы.

тогда и только тогда, когда с* = УхЩ, у_г Е Z. Значит, соотношения образуют подгруппу D в Zⁿ, содержащую те наборы из п целых чисел, в которых г-й элемент набора делится на п_г. Смежный класс по подгруппе D состоит из множества наборов, имеющих заданный набор остатков от деления на щ, поэтому факторгруппа Z^п/D изоморфна C_ni 0C_Tl2 0. .0С_Пг.

Доказательство утверждения 1.73. Пусть элемент а е А двумя способами выражен через порождающие:

Тогда.

т. е. с—с' € R. Разумеется, верно и обратное. Поэтому каждому а € А можно сопоставить класс смежности р (а) группы Zⁿ по подгруппе Я, который состоит из тех с = (cj,…, с_п), для которых.

Отображение р является искомым изоморфизмом. Складывая соотношения (1.13), убеждаемся, что р сохраняет операции. Единственным прообразом класса с + R является ci ах Н——+ с_па_п. ?

Следующий шаг описание подгрупп группы Z^ri.

Лемма 1.75. Пусть R < Zⁿ. Тогда R = Z^m, 0 ^ т ^ п.

Подгруппой Z⁰ будем по определению считать подгруппу, состоящую из одного нуля.

Доказательство. Индукция по п. Основание индукции п = 1 было уже разобрано выше (см. вывод формулы (1.5) на с. 32).

Теперь предположим, что утверждение леммы доказано при всех п' < п. В подгруппе R < Ъ^п выделим подгруппу.

Поскольку Д₀ изоморфна подгруппе Z^n₁ (равные нулю последние компоненты можно опустить), то по предположению индукции Д = Ъ^к, 0 ^ к ^ п — 1.

Если До = Д, утверждение леммы доказано.

В противном случае рассмотрим подмножество R_n целых чисел, состоящее из последних компонент элементов г € Д. Это множество является подгруппой Z, поэтому имеет вид (d) (формула (1.5)). Выберем г = (п, Г2,…, r_n-i,d.

Докажем, что Д = До + (г) — прямое разложение. Для любого г' € Д найдется нс более одного целого числа t, для которого r^f — tr G ДоПоскольку последние компоненты всех элементов Д кратны d, такое число t обязательно найдется. Тогда г' — tr G До, поэтому г' представляется в виде суммы элемента До и элемента из подгруппы (г), и это представление однозначно определено.

Итак, по утверждению 1.71,

где 0 ^ т ^ п. ?

Отметим очевидное следствие из доказанной леммы.

Следствие 1.76. Для любой конечно порожденной абелевой группы существует такой конечный набор соотношений Ci,…, с*, что всякое соотношение с между порождающими является следствием С],…, с*.

Итак, из утверждения 1.73 и леммы 1.75 вытекает, что любую конечно порожденную абелеву группу с п порождающими элементами можно задать целочисленной матрицей размера т х га, т ^ га,

Любой матрице М указанного вида соответствует группа

Некоторым матрицам соответствует одна и та же группа. Чтобы описать матрицы, которые задают изоморфные группы, введем понятие элементарного преобразования матрицы.

Элементарное преобразование целочисленной матрицы это одно из следующих преобразований:

• • прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же целое число;
• • прибавление к элементам одного столбца соответствующих элементов другого столбца, умноженных на одно и го же целое число;
• • перестановка строк;
• • перестановка столбцов;
• • умножение элементов некоторой строки или столбца на -1.

Лемма 1.77. Пусть М' получена из М последовательностью элементарных преобразований. Тогда А (М) = А (М').

Доказательство. Так как отношение изоморфизма траязитивно, лемму достаточно проверить для матриц, связанных одним элементарным преобразованием. Очевидно, что перестановка строк не влияет на Л (М), равно как и умножение на —1.

Перестановка столбцов приводит к перестановке порождающих, что дает изоморфную группу (изоморфизм переставляет компоненты, см. пример 1.35).

Рассмотрим прибавление кратного строки. Пусть

Тогда Cl = с — tc-2, поэтому <�с_ь с₂,…, с_т) = {с, с₂,…, с_ш).

где с'_п = Сц + tci2, t е Z. Обозначим порождающие группы А (М) через а, а₂,…, a_n, а порождающие группы А (М') через а, а2,…, о!_п. Построим такой изоморфизм А (М) —> А (М'), что

Поскольку должен сохранять операции, образ любого элемента А (М) определен условиями (1.14):

Проверим, что формула (1.15) корректно задает отображение из А (М) в А (М'). Пусть

т. е. х = xiai + х₂а₂ + • • • + х_па_п = y_xai + у₂а₂ + • • • + у_па_п = У в группе А. Тогда

поэтому

так что <�р (х) = <�р (у).

Обратное отображение задается формулами корректность которых доказывается аналогично. ?

Для доказательства теоремы 1.69 мы применим следующую теорему.

Теорема 1.78 (нормальная форма Смита). Целочисленную матрицу М размера гп х п, т ^ п, .можно привести элементарными преобразованиями к такому виду, что все элементы вне главной диагонали равны 0, а для диагональных элементов тц выполняется условие: тц делит m. y₊iy_i+iy

Доказательство. Если матрица состоит из одних нулей, то утверждение теоремы справедливо.

Пусть в М есть ненулевые элементы. Будем применять к М элементарные преобразования до тех пор, пока можно уменьшить минимальную абсолютную величину ненулевого элемента матрицы. Затем перестановками строк и столбцов (и умножением строк на —1) добьемся, чтобы тц стал положительным элементом с минимальной абсолютной величиной среди элементов матрицы.

Докажем, что все ненулевые элементы матрицы делятся на тц. Пусть тц не делится на тц. Разделим тц на тц с остатком: тц = ерпц + г. Если вычесть из г-й строки первую строку, умноженную на q, то т'_п = г, т. е. мы уменьшили минимальную абсолютную величину ненулевых элементов матрицы. Аналогично рассуждаем для элементов первой строки.

Пусть теперь не делится на тпц, т. е. m_TJ = qmn 4- г, О < г < тц. Как уже доказано, тц = ашц, mj = Ьтц. И в этом случае элементарными преобразованиями матрицы можно уменьшить минимальную абсолютную величину ненулевых элементов матрицы. Вычтем из г-й строки первую строку, умноженную на (а — 1), а затем из j-ro столбца вычтем первый столбец, умноженный на q — (а — 1 )Ь. После этих преобразований элемент матрицы будет равен г, как показывают вычисления (приводим только минор матрицы, образованный первой и г-й строкой и первым и j-м столбцом):

Поскольку все ненулевые элементы матрицы делятся на гац₅ можно элементарными преобразованиями сделать равными нулю все элементы первого столбца и первой строки, за исключением тпц (вычитая подходящие кратные первой строки или первого столбца). После этого матрица приобретает вид

где все ненулевые элементы матрицы М' делятся на гац, а размер М' меньше, чем у исходной матрицы.

К матрице М' можно применить такие же преобразования, какие были применены к М и т. д. В конце концов получим требуемую форму матрицы. ?

Доказательство теоремы 1.69. Пусть А — конечно порожденная абелева группа. Представим ее в виде А = А (М). В силу леммы 1.77 и теоремы 1.78 можно считать, что матрица М диагональная. Если М = 0, то А = Z". В противном случае обозначим ненулевые диагональные элементы матрицы М через n_t, 1 ^ г ^ к, соответствующие столбцам М порождающие элементы обозначим через а*. Соотношение вида ⁼

= 0 является следствием соотношений из диагональной матрицы М тогда и только тогда, когда щ Х{. Последнее означает, что хidi = 0. Это означает, что разложение любого элемента группы в сумму порождающих однозначно. Поэтому, пользуясь утверждением 1.71, получаем, что группа А изоморфна прямой сумме циклических групп (а,). ?

Анализ структуры конечных абелевых групп можно продолжить. Для этого необходимы некоторые факты из элементарной теории чисел. В главе 2 эти факты будут выведены из более общей теории. Заметим, что доказательства этих фактов не используют утверждений из данного раздела, гак что порочного круга в рассуждениях можно не опасаться.

Из следствия 2.43 вытекает, что если р, q — взаимно простые числа, то C_pq = Cp®C_q. Поэтому можно построить такое разложение конечно порожденной абелевой группы в прямую сумму циклических, в котором все слагаемые — группы порядка р^к где р — простое число (примарные компоненты).

Оказывается, что набор порядков примерных компонент определен однозначно.

Теорема 1.79. Любая конечная абелева группа изоморфна прямой сумме циклических групп порядков р^к, р — простое, причем количество примерных компонент порядка р^к одинаково для любого разложения в прямую сумму.

Доказательство. Первая часть теоремы, как уже сказано, вытекает из теоремы 1.69 и следствия 2.43. Осталось доказать вторую часть. В этом доказательстве мы используем основную теорему арифметики об однозначности разложения целого числа на простые множители (следствие из теоремы 2.39, доказываемой в следующей главе).

Итак, пусть имеется конечная абелева группа Л. Ее можно разложить в прямую сумму примарных компонент:

Выберем одно из чисел р, и докажем, что числа k_tJ не зависят от выбора разложения (1.16). Повторяя это рассуждение для всех простых делителей порядка группы, получим отсюда утверждение теоремы. Для простоты обозначений полагаем

Pi ⁼ р, kij ⁼ kj, Si ⁼ S.

Возведение в степень <�р_п: х пх является гомоморфизмом абелевой группы, так как п (х—у) = пх—пу. Обозначим через Л (^п) образ А при гомоморфизме возведения в n-ю степень. Порядок группы |Л| = p^a°q, где р q. Из основной теоремы арифметики следует, что число а₀ определено однозначно. Обозначим a_t = А^^{Р fl}'|, 1 ^ t < а<). В определении чисел a_t не использовалось никакого разложения вида (1.16). Поэтому, если мы выразим kj через а*, то тем самым докажем, что числа kj также не зависят от выбора разложения.

Докажем, что

Каждый элемент х € (Л] © Лг)^ имеет вид (11x1,71x2), где Х € А, х2? А2. Отображение а: ж ?-> (пяьпзд) задает искомый изоморфизм. Прежде всего нужно проверить корректность. Если пх = пу, где х = х + Х2, у = у г + У2> х, у € А, Х2, у2? Л-2, то по определению прямой суммы

nxi = nx2, ra/i = nj/2- Таким образом, отображение cx корректно определено (не зависит от выбора представителя класса смежности). Проверим, что а сохраняет операцию:

Из определения ясно, что, а является взаимно однозначным отображением.

По индукции можно доказать, что соотношение (1.17) выполняется и для прямой суммы нескольких слагаемых.

Чтобы выразить at через kj. найдем образы циклических групп при гомоморфизмах возведения в степень.

Если п делится на т, то для любого х Е С_т выполнено пх = 0 (порядок элемента делит порядок группы). Значит, в этом случае Ст^ — единичная группа. С другой стороны, если п взаимно просто с га, то для любого х Е С_т выполнено пх Ф 0. Это означает, что ядро гомоморфизма возведения в степень в этом случае нулевое и С= С_т.

Пусть п = р^г, т = р^к. Если t < А;, то Cm ^ = C_pk-t (кратные р^г имеют вид р^гиа, 0 ^ и < р^к~^г — 1, а — порождающий С_т). Если t ^ к, го Ст'* — единичная, так как п делит порядок группы.

Из разложения (1.16) и изоморфизма (1.17) получаем

Порядок группы равен произведению порядков прямых слагаемых. Поэтому получаем систему уравнений

из которой kj однозначно выражаются через a_t.

?