Координаты центров тяжести неоднородных тел

Координаты центра тяжести неоднородного твердого тела в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:

где — вес единицы объема тела (удельный вес), — вес всего тела.

Если твердое тело представляет собой неоднородную поверхность, то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:

где — вес единицы площади тела, — вес всего тела.

Если твердое тело представляет собой неоднородную линию, то координаты центра тяжести в выбранной системе отсчета определяются следующим образом:

где — вес единицы длины тела, — вес всего тела.

Координаты центров тяжести однородных тел

Для однородного тела вес любой его части пропорционален объему этой части:, а вес Р всего тела пропорционален объему V этого тела. Подставив эти значения Р и в предыдущие формулы, мы заметим, что в числителе как общий множитель выносится за скобку и сокращается с в знаменателе. В результате получим:

Как видно, центр тяжести однородного тела зависит только от его геометрической формы, а от величины не зависит. По этой причине точку С, координаты которой определяются формулами, называют центром тяжести объема V.

Путем аналогичных рассуждений легко найти, что если тело представляет собой однородную плоскую и тонкую пластину, то для нее.

где S — площадь всей пластины, a — площади ее частей.

Точку, координаты которой определяются формулами называют центром тяжести площади S.

Точно так же получаются формулы для координат центра тяжести линии:

где L — длина всей линии, l — длины ее частей.

Таким образом, центр тяжести однородного тела определяется, как центр тяжести соответствующего объема, площади или линии.

1) Центр тяжести дуги окружности. Рассмотрим дугу АВ радиуса R с центральным углом. В силу симметрии центр тяжести этой дуги лежит на оси Ox (рис. 2).

Найдем координату по формуле.

Для этого выделим на дуге АВ элемент ММ' длиною, положение которого определяется углом. Координата х элемента ММ' будет. Подставляя эти значения х и и имея в виду, что интеграл должен быть распространен на всю длину дуги, получим:

где L — длина дуги АВ, равная. Отсюда окончательно находим, что центр тяжести дуги окружности лежит на ее оси симметрии на расстоянии от центра О, равном.

где угол измеряется в радианах.

2) Центр тяжести площади треугольника. Разобьем площадь треугольника ABD (рис. 3) прямыми, параллельными AD, на узкие полоски; центры тяжести этих полосок будут лежать на медиане BE треугольника.

Следовательно, и центр тяжести всего треугольника лежит на этой медиане. Аналогичный результат получается для двух других медиан. Отсюда заключаем, что центр тяжести площади треугольника лежит в точке пересечения его медиан. При этом, как известно.

3) Центр тяжести площади кругового сектора.

Рассмотрим круговой сектор ОАВ радиуса R с центральным углом (рис.4). Разобьем мысленно площадь сектора ОАВ радиусами, проведенными из центра О, на п секторов. В пределе, при неограниченном увеличении числа, эти секторы можно рассматривать как плоские треугольники, центры тяжести которых лежат на дуге DE радиуса. Следовательно, центр тяжести сектора ОAB будет совпадать с центром тяжести дуги DE. Окончательно получим, что центр тяжести площади кругового сектора лежит на его центральной оси симметрии на расстоянии от начального центра О, равном.

Для определения центров тяжести тел часто встречающейся формы (треуголника, дуги окружности) удобно использовать справочные данные.

Таблица 1 — Координаты центра тяжести некоторых однородных тел

№.	Наименование фигуры.	Рисунок
	Дуга окружности: центр тяжести дуги однородной окружности находится на оси симметрии (координата уc=0). где б — половина центрального угла; R — радиус окружности.
	Однородный круговой сектор: центр тяжести расположен на оси симметрии (координатауc=0). где б — половина центрального угла; R — радиус окружности.
	Сегмент: центр тяжести расположен на оси симметрии (координата уc=0). где б — половина центрального угла; R — радиус окружности.
	Полукруг:
	Треугольник: центр тяжести однородного треугольника находится в точке пересечения его медиан. где x1, y1, x2, y2, x3, y3 — координаты вершин треугольника.
	Конус: центр тяжести однородного кругового конуса лежит на его высоте и отстоит на расстояние ¼ высоты от основания конуса.
	Полусфера: центр тяжести лежит на оси симметрии.
	Трапеция: ; площадь фигуры.
	площадь фигуры;
	площадь фигуры;