Поиск экстремумов функции
Такую задачу называют задачей условной оптимизации. При отсутствии ограничений имеет место задача безусловной оптимизации. Каждая точка х в /7-мерном пространстве переменных х, х^ в которой выполняются ограничения, называется допустимой точкой задачи. Множество всех допустимых точек называют допустимой областью D. Решением задачи (оптимальной точкой) называют допустимую точку х*, в которой… Читать ещё >
Поиск экстремумов функции (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Решение многих теоретических и практических задач сводится к отысканию экстремума (наибольшего или наименьшего значения) скалярной функции/(х) /г-мерного векторного аргументах. В дальнейшем под х будем понимать векторстолбец (точку в n-мерном пространстве): х = (Х{, …, х^у. Оптимизируемую функцию /(х) называют целевой функцией или критерием оптимальности. В дальнейшем без ограничения общности будем говорить о поиске минимального значения функции /(х), записывать эту задачу следующим образом:
Вектор х*, определяющий минимум целевой функции, называют оптимальным. Задачу максимизации /(х) можно заменить эквивалентной ей задачей минимизации или наоборот. Рассмотрим это на примере функции одной переменной. Если х* — точка минимума функции у =f (x), то для функции у = ~f (x) она является точкой максимума, так как графики функций /(х) и -f (x)> симметричны относительно оси абсцисс. Итак, минимум функции f (x) и максимум функции -f (x) достигаются при одном и том же значении переменной. Минимальное же значение функции f (x) равно максимальному значению функции ~/(х), взятому с противоположным знаком, т. е. min (/(x)) = -шах (-/(х)). Рассуждая аналогично, этот вывод нетрудно распространить на случай функции многих переменных. Если требуется заменить задачу минимизации функции f (xi, …fxN) задачей максимизации, то достаточно вместо отыскания максимума этой функции найти минимум функции f (x 1, х, у). Экстремальные значения этих функций достигаются при одних и тех же значениях переменных. Максимальное значение функции f (xy …, лгдг) равно минимальному значению функции -f (x>…, xjV), взятому с обратным знаком, т. е. шах/(х,…,.%) =.
= -minХм)). Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о задаче минимизации.
В реальных условиях на переменные хп, п = 1,N, и некоторые функции gm(x), Аот(х), т = 1, …, М, характеризующие качественные свойства объекта системы, могут быть наложены ограничения (условия) вида.
Такую задачу называют задачей условной оптимизации. При отсутствии ограничений имеет место задача безусловной оптимизации. Каждая точка х в /7-мерном пространстве переменных х, х^ в которой выполняются ограничения, называется допустимой точкой задачи. Множество всех допустимых точек называют допустимой областью D. Решением задачи (оптимальной точкой) называют допустимую точку х*, в которой целевая функция /(х) достигает своего минимального значения.