Бета-функция Эйлера. 
Бета и гамма-функции Эйлера

Определение бета-функции Эйлера

Определение 1: Интеграл вида:

где ,.

представляет функцию от двух переменных параметров и, или функцию Эйлера (интеграл Эйлера первого рода). Название ей дал французский математик, механик и астроном Жак Бине.

Так как подинтегральная функция при является бесконечно большой (если a) порядка, то первый интеграл сходится лишь при условии, т. е.. Аналогично, второй сходится при b. Первый интеграл сходится в том и только в том случае, если одновременно.

Рассматриваемый интеграл сходится, следовательно, может быть положен в основуфункции.

Свойства бета-функции

Получаем при помощи подстановки так как функция является симметричной относительно и .

1) С помощью интегрирования по частям из формулы при, находим:

Используем тождество ,.

С помощью преобразований получим:

Эту формулу можно применять с целью уменьшения, пока остается больше; таким образом, всегда можно достигнуть того, чтобы второй аргумент стал не больше.

Этого же результата можно добиться и в отношении первого аргумента, так как бета-функция является симметричной. Имеет место и другая формула приведения.

Если равно натуральному числу, то, последовательно применяя формулу, найдем:

Но.

Поэтому для и, одновременно, для получается окончательное выражение:

Если равно натуральному числу, то.

Эту формулу можно применять при или, если под символом иметь в виду.

Таким образом.

Полученный интеграл также связан с именем Эйлера. Вычислим его.

Разобьем интеграл на два интеграла:

Для имеем разложение в ряд.

этот ряд сходится равномерно лишь, если, Но частичная сумма имеет интегрируемую в мажоранту:

следовательно, интеграл от нее сходится равномерно. Интегрируя почленно, получим:

Интеграл подстановкой приводим к виду:

Применяя полученное выше разложение, найдем:

Таким образом:

Полученное выражение есть разложение на простые дроби функции.

Окончательно получаем:

Таким образом,.

Если взятьто получим:

Функция «Бета» очень просто выражается через функцию «Гамма».

График бета-функции при вещественных аргументах.