Вычислительные процедуры симплекс-метода

Симплекс-алгоритм:

Шаг 0: Используя линейную модель стандартной формы, определяют НДБР путём приравнивания к нулю n-m (небазисных) переменных.

Шаг 1: Из числа текущих небазисных переменных выбирается включаемая в новый базис переменная, увеличение которой обеспечивает улучшение значения целевой функции. Если её нет — текущее базисное решение оптимально, иначе переход к Шагу 2.

Шаг 2: Из числа переменных текущего базиса выбирается исключаемая переменная, которая должна стать небазисной при введении в состав базиса новой переменной.

Шаг 3: Находится новое базисное решение, соответствующее новым составам базисных и небазисных переменных. Переход к Шагу 1.

Если xE=xI=0, то.

(соответствует точке A Ha) — начальное допустимое решение.

Если в задаче максимизации все небазисные переменные вуравнении имеют неотрицательные коэффициенты, полученное пробное решение является оптимальным. Иначе в качестве новой базисной переменной следует выбрать ту, которая имеет наибольший по абсолютной величине отрицательный коэффициент. Применяя это условие к исходной таблице — переменная, включаемая в базис.

Процедура выбора подключаемой переменной предполагает проверку условия допустимости, требующего, чтобы в качестве исключаемой переменной выбиралась та (из текущего базиса), которая первой обращается в нуль при увеличении включаемой переменной вплоть до значения, соответствующего смежной экстремальной точке.

Отношение, идентифицирующее исключаемую переменную, можно определить из симплекс-таблице. Для этого в столбце вводимой переменной вычёркиваются отрицательные и нулевые элементы ограничений. Затем вычисляются отношения постоянных из правых частей ограничений к оставшимся элементам столбца. Исключаемая переменная — та, для которой это отношение минимально.

Столбец, ассоциированный с вводимой переменной — ведущий столбец; строка, соответствующая исключаемой переменной — ведущая строка; на их пересечении — ведущий элемент.

Поиск нового базисного решения осуществляется методом исключения переменных (метод Жордана-Гаусса). Этот процесс включает в себя вычислительные процедуры двух типов.

Тип 1. Формирование ведущего уравнения Новая ведущая строка = предыдущая ведущая строка/ведущий элемент Тип 2. Формирование остальных уравнений Новое уравнение = предыдущее уравнение — (коэффициент ведущего столбца предыдущего уравнения)*(новая ведущая строка) Новая симплекс-таблица, полученная после проведения рассмотренных операций:

	Решение.	Отношение.
;
;
;
;
;
;

xI — вводимая переменная (т.к. коэффициент вуравнении -½). Исключаемая переменная s1, (отношение 4/3 — минимальное). Снова проведём вычисления двух типов. Последняя симплекс-таблица соответствует оптимальному решению задачи, т.к. вуравнении ни одна из небазисных переменных не фигурирует с отрицательными коэффициентами.

В случае минимизации целевой функции в этом алгоритме необходимо изменить только условие оптимальности: в качестве новой базисной переменной следует выбирать переменную, которая вуравнении имеет наибольший положительный коэффициент. Условия допустимости в обоих случаях одинаковы.