Задание 4. Аппроксимация функции

• 4.1 Постановка задачи
• 1. Выберите таблицу 11 значений функции f (x), начиная с узла, равного номеру вашего варианта. Постройте таблицы конечных разностей. Выполните экстраполяцию на два узла от начала и от конца таблицы.
• 2. Для выбранной таблицы постройте интерполяционный многочлен Лагранжа и с его помощью найдите значения функции в узлах, соответствующих полушагу таблицы. Напишите функцию на С, вычисляющую заданную функцию в произвольной точке с использованием полинома Лагранжа.
• 3. Напишите функцию на С, выполняющую квадратичную сплайн-интерполяцию заданной таблицы (по 6 узлам). Проконтролируйте полученные оценки для промежуточных узлов.

Математические постановка задачи

Пусть на интервале [a, b] заданы n+1 опорных (узловых) точек a xo< x1 < x2 <…< xn b. Пусть, кроме того, заданы n+1 действительных чисел yi (i=0, 1,2,…, n) (например, как значения функции в узловых точках). Под задачей интерполяции понимают нахождение многочлена In (x) степени не больше n такой, что In (xi)=yi для 0 i n.

Интерполяцию обычно применяют тогда, когда относительно f известны только дискретные значения функции y=f (x), и, чтобы вычислить другие ее значения между узловыми точками (интерполяция) или за отрезком узловых точек (экстраполяция), ее приближают многочленом In (x), причем f (xi)=In (xi) (i=0,1,2,…, n).

Всегда существует только один интерполяционный многочлен, который может быть представлен в различной форме.