Упрощение выражений — simplify

Функция simplify — одна из самых мощных в системах символьной математики. Она предназначена для упрощения математических выражений. Стремление представить многие математические выражения в наиболее простом виде поощряется в большинстве вычислений и нередко составляет их цель. Марlе может упростить выражение, а может и не упростить, так как он использует свои внутренние алгоритмы упрощения, результат выполнения которых может не совсем соответствовать взглядам пользователя на то, как он хотел бы упростить выражение и в каком виде его получить. Вообще, задача упрощения во всех системах аналитических вычислений — это достаточно сложная проблема. В одном контексте вычислений какое-то преобразование считается упрощением, а в другом то же самое преобразование может и не считаться упрощением.

Команда simplify имеет несколько форм вызова, отличающихся наличием параметров управляющих процедур. Её самый простой синтаксис имеет следующий вид.

simplify (expr).

В скобках в качестве параметра передается expr, подлежащее упрощению. Команда simplify ищет в выражении вызовы функций, квадратные корни, радикалы и степени и инициализирует подходящие процедуры упрощения. Реально команда simplify реализована в виде набора процедур упрощения, хранящихся в основной библиотеке Марlе. Мы перечислим часть из них, остальные можно найти в справке по этой команде (например, установив курсор в рабочем листе на ее имя и нажав клавишу). По умолчанию Марlе пытается использовать максимальный набор функций упрощения, подходящий к конкретному выражению.

simplify (expr, n1, n2,…).

Возвращает упрощенное выражение expr c учетом параметров n1, n2,… (в том числе заданных списком или множеством).

simplify (expr, assume=prop).

Возвращает упрощенное выражение expr с учетом всех условий, представленных равенством или списком равенств.

Функция simplify — многоцелевая. Она обеспечивает упрощение математических выражений, выполняя следующие типовые действия:

• * комбинируя цифровые подвыражения;
• * приводя подобные множители в произведениях;
• * приводя подобные члены в суммах;
• * используя тождества, содержащие ноль;
• * используя тождества, содержащие единицу;
• * распределяя целочисленные показатели степени в произведениях;
• * сокращая expr на наибольший общий полиномиальный или иной множитель;
• * понижая степень полиномов там, где это возможно;
• * используя преобразования, способные упростить выражения.

Несмотря на свою гибкость, функция simplify не всегда способна выполнить возможные упрощения. В этом случае ей надо подсказать, в какой области ищутся упрощения и где можно найти соответствующие упрощающие преобразования. С этой целью в функцию simplify можно включать дополнительные параметры.

Полезен также параметр symbolic, задающий формальные символьные преобразования для многозначных функций, например, таких как квадратный корень. Однако, следует с осторожностью использовать параметр symbolic в функции simplify, так как в большинстве случаев результат упрощения не верен на всей комплексной плоскости, а также не всегда известно, какая ветвь многозначной функции использовалась при упрощении.

При вызове команды упрощения можно последним, или единственным, не считая самого упрощаемого выражения, параметром задать параметр с именем symbolic. В этом случае, если выражение содержит многозначные функции, например квадратный корень, то относительно таких функций будет осуществлено формальное символическое упрощение. Это означает, что не будет приниматься во внимание различное поведение многозначных функций при нахождении их аргумента в разных областях комплексной плоскости или действительной оси. Так, в случае с функцией при упрощении следует учитывать, положительна или отрицательна неизвестная .v; задание параметра symbolic снимает эту неопределенность, используя формальное правило: квадратный корень из квадрата какой-либо величины равен этой величине Использование собственных правил для упрощения тригонометрических выражений позволяет получить именно тот его вид, который необходим для дальнейшей работы, так как третьим параметром можно определить, в какой последовательности должны отображаться неизвестные в упрошенном выражении. Этот параметр задается в двух формах: в виде множества и в виде списка. (О множестве мы упомянули при определении правил упрощения пользователя, а список — это тоже объект Марlе, который пока можно считать как список выражений через запятую, заключенный в квадратные скобки.). Так вот, если он задан в виде множества, то алгоритм упрощения сортирует в выражении неизвестные по убыванию их степени в слагаемых выражения, учитывая степени всех неизвестных, а потом начинает упрощения в соответствии с заданными правилами. В случае со списком — сначала выражение сортируется по степеням первой неизвестной в списке, затем упрощается в соответствии с заданными правилами, затем полученное выражение сортируется по степеням второй неизвестной списка и упрощается и т. д.

Подробнее познакомиться с использованием собственных правил упрощения можно познакомиться на странице Справки, отображаемой командой? simplify (siderels).

Примеры применения команды simplify.

> simplify (4^(½)+3);

> simplify ((x^a)^b+4^(½), power);

> simplify (exp (a+ln (b*exp (c))));

> simplify (sin (x)^2+cos (x)^2, trig);

> e := cos (x)^5 + sin (x)^4 + 2*cos (x)^2 — 2*sin (x)^2 — cos (2*x):

simplify (e);

> f := -1/3*x⁵*y + x⁴*y² + 1/3*x*y³ + 1:

simplify (f, {x³ = x*y, y² = x+1});

> g:=sqrt (x²);

> simplify (g);

> simplify (g, assume=real);

> simplify (g, assume=positive);

> simplify (g, symbolic);