Усовершенствование метода ортогональной прогонки С.К. Годунова для решения краевых задач с жесткими обыкновенными дифференциальными уравнениями

Формула для начала счета методом прогонки С.К. Годунова

Рассмотрим проблему метода прогонки С. К. Годунова.

Предположим, что рассматривается оболочка ракеты. Это тонкостенная труба. Тогда система линейных обыкновенных дифференциальных уравнений будет 8-го порядка, матрица коэффициентов будет иметь размерность 8×8, искомая вектор-функция будет иметь размерность 8×1, а матрицы краевых условий будут прямоугольными горизонтальными размерности 4×8.

Тогда в методе прогонки С. К. Годунова для такой задачи решение ищется в следующем виде [Годунов]:

.

или можно записать в матричном виде:

.

где векторы — это линейно независимые вектора-решения однородной системы дифференциальных уравнений, а вектор — это вектор частного решения неоднородной системы дифференциальных уравнений.

Здесь это матрица размерности 8×4, а это соответствующий вектор размерности 4×1 из искомых констант .

Но вообще-то решение для такой краевой задачи с размерностью 8 (вне рамок метода прогонки С.К.Годунова) может состоять не из 4 линейно независимых векторов, а полностью из всех 8 линейно независимых векторов-решений однородной системы дифференциальных уравнений:

И как раз трудность и проблема метода прогонки С. К. Годунова и состоит в том, что решение ищется только с половиной возможных векторов и констант и проблема в том, что такое решение с половиной констант должно удовлетворять условиям на левом крае (стартовом для прогонки) при всех возможных значениях констант, чтобы потом найти эти константы из условий на правом крае.

То есть в методе прогонки С. К. Годунова есть проблема нахождения таких начальных значений векторов, чтобы можно было начать прогонку с левого края =0, то есть чтобы удовлетворялись условия на левом крае при любых значениях констант .

Обычно эта трудность «преодолевается» тем, что дифференциальные уравнения записываются не через функционалы, а через физические параметры и рассматриваются самые простейшие условия на простейшие физические параметры, чтобы начальные значения можно было угадать. То есть задачи со сложными краевыми условиями так решать нельзя: например, задачи с упругими условиями на краях.

Ниже предлагается формула для начала вычислений методом прогонки С. К. Годунова.

Выполним построчное ортонормирование матричного уравнения краевых условий на левом крае:

.

где матрица прямоугольная и горизонтальная размерности 4×8.

В результате получим эквивалентное уравнение краевых условий на левом крае, но уже с прямоугольной горизонтальной матрицей размерности 4×8, у которой будут 4 ортонормированные строки:

.

где в результате ортонормирования матрицы вектор преобразован в вектор .

Как выполнять построчное ортонормирование систем линейных алгебраических уравнений можно посмотреть в [Березин, Жидков].

Дополним прямоугольную горизонтальную матрицу до квадратной невырожденной матрицы :

.

где матрица размерности 4×8 должна достраивать матрицу до невырожденной квадратной матрицы размерности 8×8.

В качестве строк матрицы можно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры левого края или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, то есть в данном случае их 8 штук и если 4 заданы на левом крае, то ещё 4 можно взять с правого края.

Завершим ортонормирование построенной матрицы, то есть выполним построчное ортонормирование и получим матрицу размерности 8×8 с ортонормированными строками:

.

Можем записать, что.

.

Тогда, подставив в формулу метода прогонки С. К. Годунова, получим:

или.

.

Подставим эту последнюю формулу в краевые условия и получим:

.

Отсюда получаем, что на левом крае константы уже не на что не влияют, так как.

и остается только найти вектор из выражения:

.

Но матрица имеет размерность 4×8 и её надо дополнить до квадратной невырожденной, чтобы найти вектор из решения соответствующей системы линейных алгебраических уравнений:

.

где — любой вектор, в том числе вектор из нулей.

Отсюда получаем при помощи обратной матрицы:

.

Тогда формула для начала вычислений методом прогонки С. К. Годунова имеет вид:

.

Из теории матриц [Гантмахер] известно, что если матрица ортонормирована, то её обратная матрица есть её транспонированная матрица. Тогда последняя формула приобретает вид:

.

.

.

.