Определить амплитуды и фазы разложения сигнала U (t) в ряд по ортогональной тригонометрической системе функций и представить его в виде ряда Фурье. 
Сигнал U (t) =Um sin (щt+ш0) , где Um = k [B], щ = k 103[Гц], ш0 = 0, 1 k [Рад]

Решение:

Пусть, имеется гармонический сигнал:

U (t) =U_m sin (щt+ш₀).

Над сигналами, записанными в подобной форме, тяжело производить такие арифметические операции, как сложение двух сигналов, вычитание из одного сигнала другого сигнала, умножение сигнала на константу. С целью облегчения этих операций гармонические сигналы представляют в виде комплексного числа, модуль которого равен амплитуде сигнала, а угол — фазе сигнала. При этом оригинальный сигнал равен действительной части данного комплексного числа:

U (t) =U_m sin ^(щt+ш₀⁾ = U_m sin ^ш₀ e^i щt = Ы_m sin ^iщt

здесь комплексной амплитудой гармонического сигнала является следующее выражение:

Ы_{m =} U_m sin ^ш₀

k = (-1)ⁿ n, где n = 22.

k = (-1)²² 22 =22.

U_{m =} k = 22 [B].

ш₀ = 0,1 k = 0,1*22 = 2,2 [Рад].

щ = k 10³ = 22*10 ³ [Гц].

Ы_{m =} U_m sin ^ш₀ = 48,4.

Если колебания системы описываются синусоидальным законами:

U_m sin (щt + ц0).

то 48, 4 ((22* 10 ³) + 2,2) = 1,18*10 ³,.

то фаза колебаний определяется как аргумент периодической функции, описывающей гармонический колебательный процесс (щ — угловая частота (чем величина выше, тем на большее значение изменяется угол за ед. времени), t— время, ц₀ — (угол в начале колебаний) начальная фаза колебаний, то есть фаза колебаний в начальный момент времени t = 0).

Если рассматривать комплексную амплитуду как комплексное число в тригонометрической форме, то модуль соответствует амплитуде исходного гармонического сигнала, а аргумент — сдвигу фазы исходного гармонического сигнала относительно сигнала sin (щt).

Функцию U_m sin (щt + ц0) можно разложить в следующий ряд Фурье: