Медицинское страхование при заболевании туберкулезом

Математическая модель заболевания туберкулезом

При рассмотрении Марковских процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем будем считать, что все переходы некоторой системы из одного состояния в другое происходят под действием потоков событий. Если все потоки простейшие, то процесс, протекающий в системе, будет Марковским. На графе состояний системы у каждой стрелки будем проставлять интенсивность потока событий, переводящего систему из состояния в состояние .

Здесь — интенсивность потока отказов первого узла;= (- среднее время безотказной работы первого узла). Для размеченного графа показанного на рис. Определим вероятности состояний системы ,…, (- вероятность i-ого состояния системы,).

Для этого составим систему уравнений Колмогорова для конкретной системы, Размеченный граф состояний которой показан на рисунке. Найдем вероятность, что в момент t система будет находиться в состоянии .

Придадим t приращение и найдем вероятность того, что в момент t+ система будет находиться в состоянии. Это событие может осуществиться двумя способами:

• 1. В момент t система была в состоянии и за время из него не вышла;
• 2. В момент t система была в состоянии и за перешла в .

Вероятность первого варианта равна произведению на условную вероятность того, что за не произойдет перехода. Эта вероятность равна 1-. В итоге имеем (1-). Вероятность второго варианта равна (- вероятность условного перехода). В итоге)= (1-)+ .

Деля обе части на и переходя к пределу при найдем.

Аналогично можно найти еще три уравнения.

Эти уравнения называются уравнениями Колмогорова.

Интегрируя эту систему уравнений, найдем вероятности состояний, как функции времени. Для этого необходимо задать начальные условия при t=0.

Например — это означает, что при t=0 система находится в состоянии .

Сформулируем правило составления дифференциальных уравнений:

В левой части каждого уравнения стоит производная вероятности состояния, а правая содержит столько членов, сколько стрелок связано с данным состоянием. Если стрелка направлена из состояния, соответствующий член имеет знак «-», если в состояние знак «+». Каждый член равен произведению плотности вероятности перехода, соответствующему данной стрелке, умноженной на вероятность состояния, из которого исходит стрелка.

В качестве примера построения математической модели рассмотрим процесс заболевания туберкулезом.

Для процесса заболевания туберкулезом рассмотрим четыре состояния системы: — «здоров», -«инфицирован туберкулезом», — «смерть», — «болен туберкулезом», где — интенсивности переходов из одного состояния в другое. Ниже представлен граф состояний соответствующей системы.

Для нахождения вероятностей присутствия индивида в том или ином состоянии составим уравнения Колмогорова. Для нашей схемы, система имеет вид:

Здесь — вероятность состояния .

При задании начальных условий для системы учитываем, что на учете больных туберкулезом на 2010 год состоят 4879 человек, инфицированных — 1910 человек. Считая, что население Республики Башкортостан составляет 4 072 292 человека, имеем в начальный момент времени здоровых 4 065 022 человек. Таким образом, эти условия имеют следующий вид:

Кроме того, для любого момента времени t выполняется нормировочное условие: .

Когда интенсивности переходов известны, случай сводится к прямой задаче — решению уравнений Колмогорова.

Решаем систему Колмогорова для, с краевыми условиями, и получаем решение вида:

= 1;

Приведем основные показатели по туберкулезу по Республике Башкортостан за 2009;2012 гг. по данным Республиканского противотуберкулезного диспансера.

Таблица 1.1 — Количество человек находящихся в соответствующих состояниях.

Время.
Здоров.
Инфицирован.
Болен.
Умер

Таблица 1.2 — Вероятности нахождения системы в соответствующих состояниях.

t.
0,99 821.	0,998 255.	0,998 256.
4,7639Е-4.	4,6610Е-4.	4,6601Е-4.
0,1 198.	0,1 182.	0,1 182.
1,1811Е-4.	9,5037Е-5.	9,4974Е-5.

Найдем интенсивности переходов для математической модели. Из решения системы Колмогорова для вероятности можем выразить интенсивность перехода.

Интенсивности переходов определялись как среднее значение интенсивности.

Таблица 1.3 — Значение интенсивностей переходов.

t.			Среднее значение.
4,6691Е-4.	4,6682Е-4.	4,6786Е-4.
0,203 898.	0,203 801.	0,219 843.
0,391 473.	0,394 021.	0,393 926.
0,80 340.	0,80 282.	0,86 402.

На основании средних значений показателей, получаем расчетные значения вероятностей нахождения системы в состояниях — «здоров», -«инфицирован туберкулезом», — «смерть», — «болен туберкулезом».

Таблица 1.4 — Вероятности нахождения системы в соответствующих состояниях (расчет).

t.
1,1 788.	0,999 534.	0,999 067.
4,7639Е-4.
0,1 198.
1,1811Е-4.

Графическое сравнение экспериментальных и расчетных данных приведено на рис. 1.1−1.4. Видно, что расчет хорошо совпадает с экспериментом. Сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными дает основание утверждать, что модель, описываемая системой, адекватна реальным данным и может быть использована при практических расчетах определения интервалов необходимых средств при лечении и профилактики больных туберкулезом, с последующим расчетом тарифных ставок.