Модель асимметричной дуополии Штакельберга

Развитием моделей дуополии Курно и Чемберлина стала модель асимметричной дуополии Г. Штакельберга. Асимметрия в модели Штакельберга заключается в том, что дуополисты могут придерживаться разных типов поведения.

В поведении фирм в принципе возможны три стратегии:

• 1) одна из фирм стремится стать лидером, другая согласна быть последователем (аутсайдером);
• 2) обе фирмы стремятся быть лидером;
• 3) обе фирмы предпочитают роль последователя.

Последняя ситуация — это, по существу, случай дуополии Курно^[1].

Вторая ситуация называется неравновесием Штакельберга. Между фирмами разворачивается ценовая война, которая заканчивается, когда-либо одна из сторон сдается и отказывается от попыток стать лидером, либо когда обе фирмы вступают в сговор.

Если роли распределены и попыток поменять их нет, то фирма-последователь, полагая выпуск лидера заданным, будет выбирать свой выпуск, перемещаясь вдоль своей кривой реагирования (т.е. действуя вполне «по Курно»). Фирма-лидер, наоборот, не ведет себя как в модели Курно. Она знает кривую реакции соперника и учитывает ее при определении своего выпуска. Следовательно, фирма-лидер захочет выбрать такую комбинацию выпусков обеих фирм, которая принесет именно ей максимальную прибыль. Но это должна быть такая комбинация, которая, во-первых, расположена на кривой реагирования фирмы-аутсайдера, во-вторых, является точкой касания этой кривой и той изопрофиты лидера, которая обеспечивает последнему наивысшую (из возможных) прибыль (рис. 16.6).

Рис. 16.6. Равновесие в модели дуополии Штакельберга.

Расширяя выпуск от q_c (оптимальный выпуск в модели Курно), фирма L (лидер) ожидает от фирмы F (последователя) корректировки выпуска по кривой реагирования RC_F. При этом лидер будет перемещаться на более прибыльные (нижерасположенные) изопрофиты. Но только до точки 5 — точки касания своей изопрофиты с кривой реагирования фирмы-последователя. Попытка дальнейшего расширения выпуска приведет к тому, что ответ второй фирмы (в соответствии со своей функцией реагирования RC_F) переместит фирму-лидера опять на вышележащую (менее прибыльную) изопрофиту.

Итак, точка равновесия Штакельберга (5) принадлежит кривой реагирования аутсайдера (RCp) и одновременно не принадлежит к кривой реагирования лидера (RC_l).

Конечно, лидер предпочел бы монопольный выпуск в точке L с наивысшей прибылью, но поскольку полностью устранить конкурента он не может, то лучшим решением представляется выбор точки S.

Приведем аналитическое решение проблемы.

Задача максимизации прибыли лидера имеет такой вид:

В случае линейной функции спроса: P (q_L + q_F)-a-b? (q_L + q_F) прибыль фирмы-лидера можно представить в виде.

Оптимальный выпуск фирмы-аутсайдера определяется, как и в модели Курно:

Поскольку он зависит от выбора лидера, это выражение можно подставить в выражение прибыли лидера:

Упростив, будем иметь.

Приравнивая первую производную полученного выражения прибыли к нулю, имеем.

Отсюда оптимальный выпуск лидера равен.

Поскольку вторая частная производная прибыли по q_L меньше нуля: ^¹ = -2b < 0 ], постольку выпуск лидера действительно обеспечивает ему.

I щ)

максимум прибыли.

Обратим внимание, что выпуск лидера покрывает половину отраслевого спроса, как и при монополии, но поскольку конкурент не устранен, прибыль лидера не будет равна монопольной.

Теперь можно найти выпуск последователя, подставив в выражение.

? а-с а, «* а-с 1 а-с а-с

q_F =——-оптимальный выпуск лидера: q_F =——.

lb 1 lb 1 zb Ab

Таким образом, оптимальный выпуск последователя вдвое меньше оптимального выпуска лидера.

3 а с 3.

Общий выпуск в отрасли (Q*=q/ +Q* =——— (— отрас;

2 4 6 4.

левого спроса против — при равновесии Курно).

Подставив в обратную функцию рыночного спроса (P (Q) = а — bQ) полученный оптимальный отраслевой выпуск (СГ), будем иметь равновесную цену олигополии Шгакельберга:

Осталось определить прибыль дуополистов:

Для определения прибыли последователя в выражение Ti_F = aq_F-bq‘j_:— -bq_Lq_F-cq_F подставим полученные оптимальные выпуски обеих фирм Ql ^и Q*f^:

Сравнив прибыль лидера и последователя, можно заметить, что у лидера она вдвое больше.

Если фирмы по размерам мощностей и характеру издержек одинаковы, то маловероятно, что положение аутсайдера устроит любую из фирм. Скорее, каждая захочет претендовать на роль лидера. А это, как отмечалось, ведет к неравновесию Штакельберга. Если обе фирмы будут считать себя лидерами и действовать соответствующим образом, т. е. выпускать по объему q = ——, то, подставив их выпуски в обратную функцию спроса, получим.

Это равенство цены предельным (и средним) издержкам означает, что прибыли дуополистов (а значит, и отраслевая прибыль) равны нулю.

Если фирмы не сумеют заставить друг друга занять положение аутсайдера, то они могут попытаться договориться и заключить картельное соглашение. Что могло бы подтолкнуть их к этому? Рассмотрим, например, равновесие Курно (рис. 16.7).

Рис. 16.7. Максимизация прибыли дуополистами при заключении картельного соглашения.

В точке CN пересекаются не только кривые реагирования двух фирм, но и соответствующие изопрофиты, обеспечивающие дуополистам равновесный уровень прибыли.

Нетрудно заметить, что любая (!) комбинация выпуска двух фирм, попадающая в область, образованную пересечением этих изопрофит (на рис. 16.7 она заштрихована), будет означать увеличение их прибыли по сравнению с равновесием Курно, так как будет находиться на более низких для каждой фирмы (а значит, более «прибыльных») изопрофитах.

При каждом возможном уровне прибыли одной из фирм максимум прибыли другой будет достигаться в точке касания изопрофит. Во всех точках касания изопрофит будет достигаться и максимум отраслевой прибыли. Их можно объединить одной линией, крайние точки которой, М и N, находятся на осях. Они соответствуют ситуации чистой монополии, когда единственная фирма-монополист выбирает выпуск, равный половине объема отраслевого спроса (при линейной зависимости спроса).

Вдоль этой линии (в общем случае кривой) прибыль одного дуополиста может возрасти только за счет сокращения прибыли другого.

При допущении симметричности фирм-дуополистов логично будет предположить, что они поделят монопольный выпуск пополам (в точке К

Q — С

по ——) и обеспечат себе равный максимум прибыли. Но для этого они 4о должны сговориться (тайно или явно). В пределах отрезка FG линии MN сговор каждой из сторон будет выгоден, даже если это будет и не точка К, а любая другая комбинация выпусков на отрезке FG. (Альтернатива — некооперированная конкуренция с выходом в точку равновесия Курно — Нэша (CN) и уменьшение прибыли каждой из сторон.).

Поэтому отрезок FG называют еще контрактной линией. За его пределами одной из фирм сговор перестает быть выгодным. Даже если отраслевая прибыль останется максимальной, ее собственная прибыль окажется меньшей, чем при равновесии Курно. Но даже в пределах отрезка FG (в том числе в точке К) сговор не может быть устойчивым. Слишком велик соблазн каждой из сторон нарушить соглашение и увеличить свой выпуск (и прибыль) хотя бы немного, рассчитывая, что другая фирма соглашения не нарушит. А если думать, что другая сторона обязательно нарушит соглашение, то тем более следует поторопиться и успеть увеличить свой выпуск раньше.

Итак, чтобы картельное соглашение соблюдалось, фирмы должны придумать эффективную систему контроля и наказания. Иначе картель распадется.

Стабильность (или, наоборот, нестабильность) картельного соглашения на практике может зависеть и от других обстоятельств: а) количества фирм в отрасли; б) объема заказов; в) наличия информации; г) количества и размеров покупателей; д) параметров спроса и предложения; е) наличия барьеров при входе в отрасль и т. д.

Равновесие Штакельберга, как отмечалось выше, более вероятно в качестве результата в ситуации, когда одна фирма обладает значительными преимуществами перед конкурентом (конкурентами) в размерах, финансовых, технических и кадровых ресурсах, накопленном опыте. Все это в итоге определяет существенную разницу в издержках лидера и последователя (последователей): c_L < с,.-.

Фирма с более высокими затратами (аутсайдер) признает преимущество конкурента. Последний, благодаря, например, эффекту от масштабов производства, может увеличить свой выпуск настолько, что рыночная цена упадет ниже предельных затрат аутсайдера (Р < c_F). Это вызовет у аутсайдера появление убытков, но сохранит положительную экономическую прибыль у лидера (хотя она и сократится). Поэтому, признавая превосходство конкурента в уровне затрат, аутсайдер соглашается на роль последователя и ведет себя в соответствии со стратегией, характерной для модели Штакельберга, т. е. рассматривает выпуск лидера как заданную величину. Лидер же включает функцию реакции последователя в свою предположительную вариацию.

Рыночная доля лидера в ситуации дуополии равняется — рынка, в общем о.

(/? +1).

случае она определяется по формуле-, где п — число последователей.

(п + 2).

Следовательно, чем больше будет конкурентов у лидера, тем меньше окажется его доля рынка (хотя разрыв между ним и «типичными» последователями будет возрастать). При постоянном числе последователей рыночная доля лидера будет тем больше, чем больше будет разница между его предельными издержками и издержками последователей.

При одновременном увеличении разрыва в издержках лидера и последователей и росте числа последователей рыночная доля лидера расширяется быстрее¹.

• [1] Поэтому ее иногда называют частным случаем модели Штакельберга, когда каждая фирма поступает в полном соответствии со своей кривой реагирования. Достигаемоепри этом равновесие является стабильным.