Моменты случайной величины

Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс (статические моменты, момент инерции и т. п.).

Начальный момент s-го порядка случайной величины X обозначается символом a_s(x) и определяется выражением:

Нетрудно убедиться, что введенная выше характеристика математическое ожидание представляет собой нс что иное, как первый начальный момент. Используя символ математического ожидания, выражение (4.22) можно представить в следующем виде:

Пусть имеется СВ X с математическим ожиданием т_х. Введем новое понятие.

Центрированной случайной величиной, соответствующей величине X, называется отклонение СВ X от ее математического ожидания:

Моменты центрированной СВ называются центральными моментами. Нетрудно показать, что математическое ожидание центрированной СВ равно нулю:

Центральным моментом s-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание s-й степени, соответствующей центрированной СВ:

Очевидно, что для любой СВ центральный момент первого порядка равен нулю. Второй центральный момент СВ, ввиду его крайней важности среди других характеристик, называется дисперсией и обозначается D[X]:

Дисперсией D[X] случайной величины X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

Дисперсия СВ характеризует рассеяние (вариацию, разброс) этой величины относительно ее математического ожидания. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину, равную ШСредним квадратическим отклонением (стандартным отклонением, или стандартом) а_х случайной величины X называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии'.