Численные методы решения задач математической физики

Математические модели различных физических явлений часто формулируются в виде краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, и изучение таких моделей требует решения этих уравнений. Мы рассмотрим методы, основанные на конечных разностях. Основная идея этих методов состоит в том, что приближенное решение определяется на некотором множестве точек, обычно называемом сеткой. Для вычисления этого приближенного решения используются конечноразностные уравнения, которые приближают и заменяют дифференциальное уравнение.

Основные методы построения и анализа разностных схем

Обсуждение основных понятий на примере уравнения переноса

Рассмотрим основные идеи на примере численного решения задачи Коши для уравнения переноса. Если и (х, t) обозначает амплитуду малого возмущения в точке х в момент времени t, то распространение этого возмущения в бесконечной среде описывается следующим уравнением:

(П.1).

где с = const — скорость волны, которую для определенности мы будем считать положительной. Эта задача является линейной и имеет решение и (х, t) = g (x — ct), t > 0, т. е. начальное состояние просто смещается вправо со скоростью с. Предположим, что функция g (x) равна нулю при .г < 0 и мы будем рассматривать решение при х > 0.

Вначале мы должны задать разностную сетку. Для одномерных нестационарных уравнений она определяется узлами (х", th), как показано на рис. 11.1, где х_п = пк, п = 0, 1,… и tk= kx, & = 0, 1, … Параметры И = х"₊₁ — х_п и х = 4+1 — h называются соответственно шагами по пространству и времени.

Рис. 11.1. Разностная сетка на плоскости (х, I).

Приближенное решение уравнения (11.1) определяется в узлах сетки, т. е. оно представляет собой множество значений.

Такое множество часто называют сеточной функцией. Теперь нам нужно заменить производные некоторыми разностными операторами, определенными на сетке. Такие операторы были введены в главе 7. Применяя разность вперед для приближения производной по времени в точке х_п и разность назад для приближения производной по пространству в момент времени мы получим, вместо дифференциального уравнения (11.1), разностное уравнение в каждом узле сетки:

Набор разностных уравнений, определенных на некоторой сетке, называется конечно-разностной схемой (или просто разностной схемой). Для вычисления приближенного решения перепишем разностную схему (11.2) в виде.

Из начального условия и (х, 0) = g (x) следует, что значения и° = g (x_n) известны для каждого п = 0, 1,… Поэтому из формулы (11.3) можно вычислить значения и для каждого п = 0, 1,… Повторяя эту процедуру, после того как значение и¹ определено, можно последовательно вычислить значения и², и … Разностные схемы, которые позволяют непосредственно вычислять решение в момент времени tk+ через известное решение в момент времени ?*, называются явными (схема (11.2) является примером такой схемы).

Вообще говоря, можно построить бесконечное количество разностных схем для данного дифференциального уравнения. Например, модифицируем схему (11.2), приближая производную по пространству не в момент времени, а в момент времени 4+1- В результате мы получим следующую разностную схему для уравнения (11.1):

Это выражение является примером неявной схемы. В общем случае такие схемы не позволяют непосредственно вычислить решение в момент времени ?^₊₁ через известное решение в момент времени ?*, так как они образуют некоторую систему уравнений (для данной задачи мы предположили, что g (x) = 0 при х 0, поэтому и"_! = 0 и вычисления могут быть организованы явным образом). Применяя разность вперед для приближения производной, но пространству в момент времени мы получим еще одну схему:

Естественно, что все эти схемы имеют разные свойства. Эти различия показаны на рис. 11.2—11.4, которые представляют результаты вычислений для разностных схем (11.2), (11.4) и (11.5), вместе с точным решением уравнения (11.1) u (x_f t) = g (x — ct) при с = 1 и.

Рис. 11.2. Решение задачи (11.1):

• — точное решение;——приближенное решение
• (разностная схема (11.2), t = 4, h = 0.1, т = 0.05)

Рис. 11.3. Решение задачи (11.1):

• — точное решение;——приближенное решение
• (разностная схема (11.4), t = 4, h = 0.1, т = 0.05)

Рис. 11.4. Решение задачи (11.1):

• —точное решение;——приближенное решение
• (разностная схема (11.5), t = 4, h = 0.1, т = 0.05)

Сравнение результатов показывает, что при вычислении по схеме (11.5) погрешность быстро накапливается и после небольшого числа шагов увеличивается до неприемлемой величины. Это явление называется неустойчивостью, и оно является внутренним свойством самой системы разностных уравнений (11.5).

Этот пример демонстрирует, что построение разностных схем и решение дифференциальных уравнений с помощью этих схем не совсем простая задача. Часто возникают ситуации когда, казалось бы, схема должна давать достоверный результат, а мы получаем приближенное решение, которое не имеет ничего общего с точным решением. Поэтому, прежде чем рассматривать методы построения разностных схем, мы должны познакомиться с требованиями, выполнение которых обязательно для любой практически пригодной схемы.

Основные свойства, которым должна удовлетворять разностная схема, есть свойства аппроксимации и устойчивости. Определения этих свойств были приведены в главе 7. Здесь мы кратко рассмотрим анализ аппроксимации и устойчивости разностных схем для уравнений математической физики на примере разностных схем для задачи (11.1).

Разностную схему можно записать в символическом виде D_flu = f. Если подставить точное решение задачи и^(с) = {и (х_п, ?*)} в разностную схему, то мы не получим точного равенства, т. е. возникает некоторый вектор невязки:

Мы будем говорить, что разностная схема аппроксимирует дифференциальную задачу на решении и (х, t)> если || 5f || —? 0, когда h —? 0 и т —? 0. В дополнение, если выполняется неравенство.

где константы С > 0, С₂ > 0, р > 0, q > 0, тогда мы будем говорить, что имеет место аппроксимация порядкар по h и порядка q но т.

Рассмотрим возмущенную разностную схему.

которая получается из разностной схемы путем добавления в правую часть возмущения е. Мы будем называть разностную схему устойчивой, если существуют числа т₀ > 0 и 8 > 0, такие что для любого т < т₀ и ||е|| < 8 разностная задача (11.7) имеет единственное решение z и это решение отличается от и на сеточную функцию z — и, которая удовлетворяет оценке || z — и || < С||е||, где константа С не зависит от h и т. Это неравенство означает, что малое возмущение правой части разностной схемы приводит к малому возмущению решения. В случае линейной дифференциальной задачи следующее определение эквивалентно данному выше определению. Мы будем называть разностную схему устойчивой, если для любой правой части f разностная задача D/jU = f имеет единственное решение и и выполняется оценка.

где константа С не зависит от h и т.

Основной вопрос, который возникает при практических вычислениях, — насколько полученное приближенное решение отличается от точного решения и как сделать это отклонение достаточно малым. Предположим, что разностная схема аппроксимирует задачу па решении и (х> t) и устойчива. Тогда приближенное решение и сходится к точному решению и^(е т. е. I — и || —? 0, когда h —*• 0 и т —? 0. Если при этом выполняется неравенство (11.6), то в этом случае мы будем говорить, что имеет место сходимость порядка 0(h^f) + x^q) или что разностная схема (11.8) имеет точность порядка р по h и порядка q по т. Понятно, что чем больше значения р и q (выше порядок аппроксимации), тем быстрее приближенное решение стремится к точному решению по мере уменьшения шагов сетки.

Однако сравнение схем по порядку точности имеет смысл проводить лишь при достаточно малых шагах расчетной сетки h и т, при этом главный член ошибки аппроксимации зависит не только от шагов сетки, но и от производных решения (параграф 11.1.2). Практически же используются достаточно крупные расчетные сетки, на которых асимптотические оценки могут быть несостоятельны. Таким образом, может оказаться, что схема первого порядка точности на реальных сетках точнее схемы второго порядка точности и т. д. Наличие сходимости является основным требованием, предъявляемым к разностным схемам, так как только в этом случае мы можем аппроксимировать точное решение с любой точностью, в пределах машинной арифметики, выбирая шаги по пространству и времени достаточно малыми.