Простые математические модели реальных явлений

Мы начнем изложение с ряда простейших математических моделей реально происходящих явлений, построенных на основе интуитивного подхода к выбору факторов, влияющих на описываемое явление в рамках его вербальной модели. По ходу дела будут приведены основные математические положения, позволяющие проводить качественное исследование моделей, предшествующее их детальному рассмотрению. Кроме того, на конкретных примерах будут вводиться и иллюстрироваться такие характеристики математических моделей, как их адекватность рассматриваемому явлению, универсальность, иерархичность, оснащенность и т. д.

Жесткие и мягкие математические модели

В математическом моделировании многие авторы используют понятия жесткой и мягкой математических моделей, несмотря на отсутствие четкой грани между этими двумя типами моделей. Простейшим примером жесткой модели является таблица умножения. Характерные примеры мягкой модели могут быть проиллюстрированы утверждениями типа «чем дальше в лес, тем больше дров», или «чем дальше идешь, тем больше увидишь». Как мы увидим из дальнейшего, именно мягкие математические модели реальных явлений обеспечивают возможность осмысленных и конструктивных предсказаний свойств и поведения моделируемых реальных объектов или процессов.

Одной из простейших моделей реальных явлений является модель Ланкастера сражения двух армий. В этой модели состояние рассматриваемой системы задается положением точки Р в первом (положительном) квадранте плоскости Р (х, у), где координаты х и у соответствуют численности каждой из противостоящих армий. С самого начала предположим, что х и у могут рассматриваться как непрерывные переменные, несмотря на то что смысл имеют только их целочисленные значения (хотя, в принципе, дробному значению переменной можно было бы в более сложной модели поставить в соответствие понятие раненого воина). В соответствии со сделанным предположением предсказания модели могут иметь смысл только при выполнении условий 1 «: х, 1 <�гс у.

Модель Ланкастера описывается системой двух обыкновенных дифференциальных уравнений.

или где х = dx/dt.

Коэффициенты а и b в (1) или в (Г) определяются мощностью оружия армии соперника. Постоянные значения этих коэффициентов соответствуют жесткой математической модели. В случаях, когда эти коэффициенты рассматриваются как заданные функции времени и (или) численности своей армии или армии противника, говорят о мягкой модели. Вид правых частей в системе (1) соответствует предположению об использовании обычного (не ядерного) оружия, эффективность которого пропорциональна численности армии.

Система уравнений (1) может быть получена не только в рассматриваемой модели сражения двух армий, но и в ряде других случаев, когда моделируются явления совершенно иной природы. В этом заключается понятие универсальности математических моделей. В рассматриваемом случае мы приходим к системе уравнений (1) в предположении, что изменение (уменьшение!) численности каждой армии определяется только боевыми действиями противника, которые в свою очередь определяются качеством ее стратегии и тактики, уровнем морального духа и профессионализмом офицеров и бойцов, качеством используемого оружия и т. д. Не входя в детали всех этих факторов, мы ограничиваемся простейшей моделью, в которой вся эта совокупность факторов описывается введенным понятием «мощности оружия», выражаемой коэффициентами а и b в (1). В мягкой модели, когда эти коэффициенты не считаются постоянными, учитывается на феноменологическом уровне изменение упомянутых факторов во времени, или в зависимости от численности армий. Отметим, что входящие в систему (1) уравнения линейны по переменным х и у, когда коэффициенты а и b зависят только от времени / и не зависят от х и у. В этом случае говорят о линейной математической модели.

Исследуем свойства жесткой модели Ланкастера, когда коэффициенты а и b постоянны. В этом случае может быть найдено точное решение системы уравнений (1). Из системы (1) следует равенство.

откуда Окончательно получаем.

где с — константа, определяемая начальными условиями.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Уравнение (3) может быть представлено графически. В общем случае оно соответствует гиперболе, по которой пойдет сражение (эволюция численности армий). Вид гиперболы определяется начальными условиями (4), т. е. положением точки Р в начальный момент времени /о (*о> Уо) (рис. 1.1). Два различных типа гипербол разделены прямой линией, которая соответствует значению с = 0 в уравнении (3):

Рис. 1.1.

Если начальное состояние Р₀ лежит выше этой прямой (кривая 1 на рис. 1.1), то гипербола выходит на ось у. Этому случаю соответствует значение с < 0 в уравнении (3). Это означает, что в ходе сражения численность армии х уменьшается до нуля в течение конечного промежутка времени. Армия у побеждает, противник уничтожен. Если начальное состояние Р₀ лежит ниже прямой (кривая 2 на рис. 1.1), то побеждает армия х. Этому случаю соответствует значение с > 0 в уравнении (3).

Если начальное состояние системы /Ъ лежит на прямой линии, то обе армии погибают в процессе сражения, но для этого требуется бесконечно большой промежуток времени. Действительно, в этом случае, полагая с = 0, имеем из (3) и первое из уравнений (1) принимает вид.

Решая уравнение (7), получим.

Даже такая заведомо упрощенная модель сражения двух армий оказывается способной дать качественное описание особенностей рассматриваемого явления. Проанализируем выводы, которые могут быть сделаны на основе проведенного анализа жесткой модели Ланкастера.

Для победы, как это следует из соотношения (3), важна не только численность сторон в начале боевых действий хо и y_0f но и качество их вооружений, выучка солдат и т. д., выражаемые коэффициентами а и b в (1). Например, при с > 0 побеждает армия х_у и для достижения победы второй стороне следует либо увеличить начальную численность армии у_0} либо качество вооружения, либо то и другое одновременно. Однако, как видно из (3), эффект от увеличения коэффициента b меньше, чем от такого же по величине увеличения числа у₀ — это так называемый квадратичный закон боевых действий: чтобы победить вдвое более многочисленную армию, необходимо иметь в четыре раза более мощное оружие.

Найдем зависимость численности армии х (/) от продолжительности сражения. Дифференцируя первое из уравнений (1) и принимая во внимание второе уравнение, приходим к равенству.

В жесткой модели (а и b постоянные) уравнение (9) решается точно, и при использовании начальных условий.

численность армии х (/) в зависимости от времени дается выражением.

Аналогично может быть найдено и выражение для у (/).

Получение явных выражений и численных значений интересующих нас величин x (t) и y (t) требует задания не только самой модели в виде системы уравнений (1), но и оснащения этой модели, т. е. задания численных значений коэффициентов а и b и начальных значений численности армий хо и у₀. Оснащенность математической модели является одной из ее основных характеристик и необходимым условием для получения осмысленных предсказаний на основе данной модели.

Рассматриваемую жесткую модель сражения двух армий можно сделать более реалистической, если предположить некоторую зависимость коэффициентов а и b в системе уравнений (1) от значений х и у численности армий, т. е. перейти к мягкой модели, поддающейся изменениям за счет выбора функций а и Ь:

При этом система уравнений (1) принимает вид.

Система уравнений (13) уже нс может быть решена точно при произвольном виде функций а (х, у) и Ь (х, у), однако существуют методы, позволяющие сделать выводы общего характера даже в тех случаях, когда нам неизвестен явный вид этих функций. Здесь мы изложим некоторые из таких выводов для рассматриваемой мягкой модели, не останавливаясь на деталях рассмотрения. В дальнейшем будут изложены основные начальные положения качественной теории дифференциальных уравнений, на основе которой можно прийти к этим выводам.

Основной вывод, к которому приводит качественный анализ мягкой модели сражения двух армий, есть вывод о структурной устойчивости этой модели: изменение функций а и b приводит к изменению описывающих ход военных действий кривых на плоскости (х, у) (которые уже не будут гиперболами) и разделяющей их прямой, однако это изменение не затрагивает основных качественных выводов, сделанных на основе анализа жесткой модели.

Основной вывод состоял в том, что ситуации «армия х побеждает» и «армия у побеждает» разделены нейтральной линией «обе армии уничтожают друг друга за бесконечное время» (см. рис. 1.1). Топологический тип системы кривых на плоскости (х, у) нс изменяется и в мягкой модели при изменении функций а и Ь это изменение приводит лишь к искривлению нейтральной линии (рис. 1.2). Можно показать, что невозможна, например,.

Рис. 1.3

Рис. 1.2.

ситуация, показанная на рис. 1.3, во всяком случае для функций а (х, у) и Ь (х, у), которые представляют собой положительные в нуле многочлены по степеням х и у.

Таким образом, в достаточно общей мягкой модели сражения (13) по-прежнему будет кривая, разделяющая различные состояния системы, которые соответствуют победе одной из армий. Эта разделяющая кривая проходит через состояния, которые соответствуют ситуации, когда обе армии полностью уничтожают друг друга за бесконечное время. Простейшая жесткая модель в рассматриваемом случае оказывается пригодной для приближенного качественного описания ситуаций в целом классе мягких моделей, различающихся видом функций а (х, у) и Ь (х, у). Более того, жесткая модель позволяет сделать полезное количественное предсказание: наклон разделяющей нейтральной прямой в нуле определяется соотношением.

где а и b — значения функций а (х, у) и Ь (х, у) в нуле при х = О, у = 0. Это означает что квадратичный закон боевых действий (т.е. принцип «если противников вдвое больше, то надо иметь в четыре раза более мощное оружие») справедлив на конечном этапе взаимного истребления, в то время как на начальном этапе сражения число «4» может изменяться в зависимости от вида функций а (х, у) и Ь (х, у).

Изложенная простейшая модель качественно соответствует реальным историческим событиям, таким, как поражения Наполеона и Гитлера и успех монгольских завоевателей Чингисхана и Батыя.

Модель Ланкастера может быть обобщена для описания сражений между регулярными армиями при учете изменений личного состава, непосредственно не связанных с боевыми действиями (болезни, травмы), и поступления подкреплений, при котором его скорость считается некоторой заданной функцией времени. В этом случае основные уравнения модели записываются в виде.

где коэффициенты сие определяют скорости потерь в силу «не боевых» причин, а функции g (t) и /(/) характеризуют скорости поступления подкреплений. Отметим, что модель по-прежнему остается линейной, так как величины х и у входят в систему уравнений (15) в первой степени. При оснащении модели, т. е. задании всех коэффициентов а, Ь, с и е> функций g (t) и /(/) и начальных значений х (0) и >>(0), модель однозначно определяет значения *(/) и y (t) в любой момент времени / > 0.

Аналогично модели Ланкастера могут быть построены математические модели, описывающие боевые действия регулярной армии против партизан в тех же упрощающих предположениях, что и в рассмотренном случае. Эта модель будет, однако, отличаться от моделей действия регулярных армий. Наиболее характерное отличие действий партизан заключается в их меньшей уязвимости по сравнению с регулярными частями. Эта меньшая уязвимость связана со скрытностью действий и расположения партизан. Поэтому считается, что темп потерь партизан dy/dt пропорционален не только численности противостоящей им регулярной армии х, но и численности самих партизан у, т. е. определяется выражением, пропорциональным произведению ху. В результате уравнения, соответствующие рассматриваемой вербальной модели, записываются в виде системы.

Теперь модель становится нелинейной благодаря правой части второго уравнения, закон изменения численности сторон оказывается уже другим. Умножим первое уравнение в (16) на ах_у второе — на b и вычтем второе уравнение из первого. В результате получим.

Из уравнения (17) следует равенство где с — константа, определяемая значениями х (0) и >>(0) и коэффициентами а и Ь. Соотношение (18) соответствует параболам на плоскости (х, у) (рис. 1.4). Видно, что при с > 0 побеждает регулярная армия, при с < 0 побеждают партизаны, а при с = 0 победителя нет. Из соотношения (18) следует, что для победы партизанам необходимо увеличение численности >>(0) пропорционально х²(0), т. е. квадрату численности х (0) регулярной армии. Это так называемый параболический закон боевых действий. Видно, что в определенном смысле регулярные части находятся в более выгодном положении. Поведение функций x (t) и y (t) во времени находится из системы уравнений (16) с использованием соотношения (18). В частности, для х (/) находим.

Рис. 1.4.

что приводит к уравнению с разделяющимися переменными.

Интегрируя (20), можно найти x (t) и затем y (t) как неявные функции времени.

Задачи и упражнения

• 1. Покажите, что кривые на рис. 1.1 представляют собой гиперболы, для которых наличие пересечений с осями х и у зависит от знака постоянной с.
• 2. Получите решение (8) уравнения (7).
• 3. Получите соотношение (11).
• 4. Получите выражение для y (t), аналогичное соотношению (11), используя либо систему уравнений (1), либо соотношение (3), и сравните его с выражением (11) для х (/). Убедитесь в правильности результатов анатиза, представленного в тексте.
• 5. Проинтегрируйте уравнение (20) при различных значениях постоянной с.
• 6. Используя результаты предыдущей задачи, убедитесь в правильности выводов, приведенных в тексте.
• 7. Используя результаты задачи 5, найдите численность партизан y{t) как неявную функцию времени при разных значениях постоянной с в уравнении (20).

Литература

: [2], [14].