Уравнения турбулентного пограничного слоя

Для турбулентного пограничного слоя (рассматривается двухмерный поток), так же как и для ламинарного, можно вывести уравнения пограничного слоя, если вместо величин, входящих в уравнения движения, сплошности и энергии, подставить их значения в виде суммы средней величины и пульсации (16.35). Путем некоторых преобразований, анализа порядка величин и отбрасывания малых, получим уравнения движения, сплошности и энергии для турбулентного пограничного слоя. Приведем перечисленные уравнения.

Уравнение движения турбулентного двухмерного пограничного слоя для стационарного (осредненные значения скорости w_x не меняются во времени) течения несжимаемой жидкости вдоль пластины (dp/dx = 0 для х-компонента) без учета диссипативной функции имеет вид:

Чтобы сделать это уравнение замкнутым, выразим соотношение, содержащее пульсационные скорости w'_x и w'_y, через градиент осредненной.

dw_x

скорости ——:

ду

где i[r — коэффициент турбулентной вязкости.

Тогда уравнение (16.36) можно записать в виде:

или.

Весьма важную особенность турбулентного течения — пульсационное движение со скоростями w'_x и w'_y, которые оказывают влияние на осред;

ненное движение со скоростями w_x и w_y таким образом, что в осредненном движении вязкость как бы увеличивается. Следовательно, полную вязкость турбулентного потока можно рассматривать как сумму молекулярной и дополнительной вязкости, обусловленной турбулентностью.

Для сравнения уравнение движения ламинарного пограничного слоя (16.3) (^-компонент) при dp/dx = 0 имеет вид:

Сопоставляя уравнения движения для турбулентного (16.37) и ламинарного (16.38) пограничного слоев замечаем, что в первом появился дополнительный член, который представляет собой кажущееся напряжение или турбулентное касательное напряжение в несжимаемой жидкости:

Коэффициент турбулентного вязкости характеризует интенсивность турбулентного переноса количества движения.

Допустим, что молекулярный и турбулентный переносы количества движения протекают независимо друг от друга, тогда полное касательное напряжение т" можно представить как сумму касательного напряжения т (от взаимодействия между молекулами) и касательного напряжения о_/г (от взаимодействия между отдельными объемами жидкости макроскопического размера, движущимися как единое целое). Предполагается, что такие объемы возникают в турбулентном потоке и ведут себя как отдельные молекулы.

Полное касательное напряжение.

Уравнение движения для турбулентного пограничного слоя в проекции на ось .у по аналогии с ламинарным имеет вид:

и.

Уравнения сплошности

Из этих уравнений видно, что уравнение сплошности удовлетворяется как для осрсдненных, так и для пульсационных скоростей.

Уравнение энергии для турбулентного двухмерного пограничного слоя в несжимаемой жидкости без учета диссипативной функции имеет вид:

где w'_y, Э' - пульса ционная скорость, температура соответственно.

Для того чтобы уравнение (16.41) сделать замкнутым, из него следует исключить пульс анионные скорость и температуру. Сделаем это так же, как и для уравнения (16.36). Выразим соотношение, содержащее пульсационные величины, через градиент осредненной температуры:

Тогда с учетом этой замены, уравнение (16.41) можно переписать в виде:

или.

Уравнение (16.43) называют уравнением энергии для турбулентного пограничного слоя.

Из (16.43) следует, что полный удельный тепловой поток q_n через турбулентный пограничный слой можно представить в виде суммы тепловых потоков, возникающих в результате действия молекулярной q и турбулентной q/r теплопроводностей:

где — коэффициент турбулентной теплопроводности (характеризует интенсивность турбулентного переноса теплоты).

Для сравнения уравнений энергии турбулентного (16.43) и ламинарного (16.24) пограничных слоев приведем последнее в следующей форме:

Сравнение этих уравнений показывает, что в уравнении (16.43) поя вился дополнительный тепловой поток.

обусловленный действием турбулентной теплопроводности.

Непосредственные измерения коэффициента турбулентной вязкости.

— pw;w;

=-— показали сложную зависимость его от скорости w_x в по;

dw_x/ ду

граничном слое, что затрудняет использование его при расчетах.

Несмотря на то, что коэффициенты динамической ц и турбулентной [Lrr вязкости формально схожи, но по своей физической природе различны. Первый является функцией состояния жидкости, а второй зависит от режима движения.

В заключение следует отметить, что аналитическое решение системы дифференциальных уравнений турбулентного пограничного слоя пока невозможно, так как нет аналитических зависимостей между иульсационным и осредненным движениями жидкости, т.к. нет аналитических зависимостей между пульсационным и осреденным движениями (16.39) и (16.42). Поэтому систему уравнений (16.36), (16.40), (16.41) обычно замыкают различными эмпирическими зависимостями. Определение конкретного вида таких эмпирических зависимостей является задачей полуэмпирической теории турбулентности [27].