Формулы для определения основных параметров базовой интеграционной модели оптимального размера заказа

Основные расчетные формулы эшелонированной модели EOQ были получены с учетом следующих условий и ограничений.

• 1. Спрос на продукцию для уровня 1 детерминирован, равномерно распределен во времени и имеет постоянную интенсивность в течение всего рассматриваемого периода;
• 2. Затраты на заказ (С_0/) и содержание запасов, из расчета на единицу продукции, (с_х/) неизменны в течение всего рассматриваемого периода времени.
• 3. Продукция на уровнях 1 и 2 является неделимой и одной единице изделия на уровне 1 соответствует одна единица изделия на уровне 2.
• 4. Между объемами заказов для уровней 1 и 2 системы установлено отношение:

где k — целое положительное число (показатель кратности партий); — оптимальный размер запаса на i-м уровне системы.

5. В системе предполагается возможность мгновенной поставки заказа: в случае поступления заказа от звена системы на уровне 1 в размере Qoi часть запаса на уровне 2 в размере Q_}t может быть сразу же отгружена клиенту на уровне 1 (рис. 11.4). Таким образом, средний запас на уровне 2 за цикл будет:

Рис. 11.4. Взаимосвязь 1-го и 2-го уровней запасов изделий при & = 3 в базовой интеграционной модели оптимального размера заказа

Из рис. 11.4 видно, что спрос на уровне 2 имеет дискретный характер, что обусловлено координацией поставок на уровнях 1 и 2.

Рассмотрим порядок вывода расчетных формул эшелонированной модели EOQ с учетом описанных выше условий.

Затраты на заказы на уровне 1 составят.

Затраты на хранение запаса на уровне 1.

Запасы на уровне 2 составят.

С учетом условия 5 затраты на хранение на уровне 2 составят.

Таким образом суммарные затраты, связанные с запасами, составят.

Функция суммарных затрат на запасы для случая двухуровневой системы линейной конфигурации (формула (11.7)) — это выпуклая функция от двух переменных — Q_{ и к. Поэтому для нахождения значения Qj можно взять первую производную от выражения (11.7) по Qj, приравнять ее к нулю и выразить искомый параметр:

В результате получим выражение для расчета оптимального размера заказа на уровне 1:

Подставив выражение (11.9) в формулу общих затрат (11.7) вместо Q, получим выражение для расчета суммарных минимальных затрат:

Для нахождения коэффициента к может быть использован следующий подход¹: берется производная d (C_lm[n)² / dk, приравнивается к нулю:

После необходимых преобразований находим.

Поскольку k должно быть целочисленным, округление значения, полученного по формуле (11.12), осуществляют по следующему правилу:

• • если к' < 1 (к' — это значение, найденное по (11.12)), то к = 1;
• • если к'>1ит<�к'<�т + 1 (т — некоторое целое положительное число), то k = т при к' / т<(т + 1) / к' в противном случае к' = т + 1.

Axsater S. Inventory control.

Аналогично округление производится и для значений Q^: если т < (У < <�т+ 1, гдет — некоторое целое положительное число, то Q = m при (У /т< < (7?7 + 1) / (У; в противном случае (У = т + 1.

Оптимальный размер заказа на уровне 2 вычисляется по формуле (11.1), в которую подставляются найденные по формулам (11.12) и (11.9) значения k и Q^.

? Разбор ситуации Рассмотрим ситуацию, в которой запасы создаются на двух уровнях: у оптовика и ретейлера^[1]. По данным ретейлера, спрос на продукт составляет 40 000 ед. в год. При этом затраты на размещение заказа для него составляют 100 у.е., а для оптовика — 200 у.е. Рассчитаем объемы оптимальных партий заказа для ретейлера и оптовика в трех случаях:

• 1) когда затраты на содержание запаса одинаковы для ретейлера и оптовика (с_х1 = с_х2 = 5 у.е.);
• 2) когда затраты на содержание запаса у оптовика выше, чем у ретейлера (5 у.е. и 2 у.е. за единицу продукции соответственно) — с_х1 < с_х2;
• 3) когда затраты на содержание запаса у оптовика меньше, чем у ретейлера (2 у.е. и 5 у.е. за единицу продукции соответственно) — с_х1 > с_х2.

Рассчитаем коэффициент к для каждого случая по формуле (11.12).

При с_х1= с_х2

Эго означает, что в этом случае запас на 2-м уровне (у оптовика) не хранится.

При с_х1 < с_х2

При таком значении коэффициента к проведение расчетов невозможно. При с_х, > с_х2:

Следовательно, для варианта с_х1 > с_х2 можно рассчитать значения Q_oi и 0^)2 по формулам (11.9) и (11.1) соответственно:

Рассчитаем также суммарные минимальные затраты (формула (11.10)):

• [1] Ретейлер — розничный продавец.