Геостатистические модели изменчивости геологических показателей

Если моделируемое поле признака является случайным однородным полем с конечным математическим ожиданием и дисперсией, то между автокорреляционной K (h) и структурной S (h) функциями справедливо следующее соотношение:

где К (И) = М[(С (х) — т)(С (х + h) — от), a S (h) = ЩС (х) — С{х + Л)]².

Аналогичные соотношения будут справедливы и для их оценок. Выбор функции при оценке изменчивости нс принципиален при сделанных предположениях и должен определяться простотой вычислительных процедур при нахождении оценок и подборе аналитической аппроксимирующей зависимости. Оценка структурной функции предпочтительнее, так как для нее относительно просто находятся числовые параметры по результатам экспериментальных оценок.

Рассмотрим некоторые практические аспекты оценки структурных функций и их аппроксимации аналитическими выражениями. Не вызывает затруднений оценка S (h), если разведочная сеть регулярна. Пусть известны значения показателя C (.v, у,) в узлах прямоугольной сети с размерами элементарной ячейки h_x-h_y. Тогда оценки S (h) для четьшех различных направлений сходятся по Формулам:

где h_a = у[Щ + hy — длина диагонали элементарной ячейки сети; N — число слагаемых под знаком суммы в направлении h_a .

Оценки структурной функции (вариограммы) S (h), построенные для различных направлений, несут почти всю информацию об изменчивости характеристик поля, необходимую при решении задачи об оценке показателей, и ее погрешности в произвольной точке поля или в заданном объеме. Различие вариограмм, построенных для различных направлений, позволяет выявить геометрическую, зональную и функциональную анизотропии.

При наличии всех трех типов анизотропии аппроксимация вариограмм может быть сложной. Дело в том, что при анализе экспериментальных вариограмм следует учитывать, что функциональная анизотропия указывает на наличие закономерной составляющей (тренда) в размещении показателя и она проявляется в резком возрастании S (h) на больших расстояниях. Геометрическая анизотропия проявляется в подобии вариограмм для взаимно перпендикулярных направлений, причем коэффициент подобия равен коэффициенту анизотропии. Наличие зональной анизотропии связано с различным масштабом изменчивости для разных направлений, т. е. значения S (h) существенно отличаются друг от друга на больших расстояниях. Оставшаяся часть будет характеризовать анизотропную составляющую изменчивости показателя.

Аппроксимация вариограмм проводится с помощью одной из моделей, приведенных в табл. 8.4.1. При этом необходимо руководствоваться особенностями тех задач, для решения которых в дальнейшем будет использоваться структурная функция S (h). Например, для нахождения оптимальной оценки среднего содержания металла в блоке необходимо аппроксимировать S (h) на достаточно большом интервале изменения /?. В этом случае удобнее всего использовать экспоненциальную или сферическую модели изменчивости.

В связи с задачами интерполяции, возникающими при вычерчивании изолиний с помощью ПК, необходимо более точно аппроксимировать S{h) в окрестности нуля. Для этих целей наиболее подходящая аппроксимационная модель — степенная. Преимущества степенной модели объясняются прежде всего тем, что показатель в уравнении структурной функции S (h) = 2<�т₀²h^k (0 < к < 2) характеризует степень регулярности пространственной переменной. Чем ближе к к нулю, тем выше доля случайной составляющей изменчивости; при к = 2 случайная составляющая отсутствует. При этом в представлении отсутствует константа «эффекта самородков».

Таблица 8.4.1.

Модели и уравнения собственных функций

Для определения параметров уравнения удобно представлять оценку вариограмм 5(/?) в логарифмическом масштабе по обеим осям. В этом случае оценкой параметра к будет тангенс угла наклона графика S (h) к горизонтальной оси. Примеры расчета для экспериментальных вариограмм приведены на рис. 8.4.2.

Рис. 8.4.2. Вариограммы содержаний Мо (а) и W203 (в) для Тырныаузского месторождения, а также Си (в, г) и Ni (д, е) различных участков Талиахского месторождений.

Для регулярных сетей опробования оценка структурных функций при неравномерном опробовании имеет свои особенности. В этом случае для оценки вариограммы строится гистограмма переменных расстояний h между всеми возможными нарами точек (А/" Mj) с использованием среднего расстояния Л_ср. После этого квадраты разностей [С (М) — С (, Ц)]^: для всех пар, попадающих в один разряд, объединяются и усредняются. Простое усреднение правомочно, так как расстояния между соседними точками распределены приблизительно равномерно на отрезке [0, й_ср]. Подбор модели изменчивости и определение параметров и модели проводятся, как и при равномерном опробовании.