Общие сведения о системах линейных одновременных уравнений

Рассмотрим системы линейных одновременных уравнений каждого из указанных выше видов.

Система независимых уравнений. В этой системе каждая зависимая переменная у_х,…, у_т рассматривается как функция одного и того же набора экзогенных факторов x_v …, х_п:

Каждое уравнение этой системы может быть рассмотрено отдельно. Для нахождения его коэффициентов используется обычный МИК.

Система рекурсивных уравнений. Зависимая переменная y_i каждого уравнения является функцией всех зависимых переменных предшествующих уравнений и всех эндогенных факторов х_}

Каждое уравнение оценивается отдельно (в последовательности от первого к последнему) с помощью МНК.

Система взаимозависимых уравнений. Одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях — в правую часть системы:

Такая система уравнений называется структурной формой модели. Коэффициенты a_tJ и /;_у при переменных называются структурными коэффициентами модели. Для нахождения структурных коэффициентов таких систем используются косвенный, двухшаговый и трехшаговый^[1] МНК.

Предполагается, что в каждом уравнении экзогенные переменные не коррелируют со случайным отклонением. В общем случае эндогенные переменные коррелируют со случайными отклонениями. Поэтому применение МНК к структурной форме модели дает смещенные и несостоятельные оценки структурных коэффициентов.

В рассмотренных классах систем эконометрических уравнений структура матрицы коэффициентов при зависимых переменных различна. Запишем систему эконометрических уравнений в матричном виде:

где В — матрица коэффициентов при зависимых переменных; Y — вектор зависимых переменных; А — матрица коэффициентов при объясняющих переменных; X — вектор объясняющих переменных; Е — вектор ошибок.

Если матрица В диагональная, то рассматриваемая модель является системой независимых уравнений (11.2). Так, при трех зависимых и трех объясняющих переменных модель имеет вид.

В этом случае матрица параметров при зависимых переменных является диагональной:

Если матрица В треугольная (или может быть приведена к такому виду), то модель представляет собой систему рекурсивных уравнений (11.3). Так, модель вида.

где зависимая переменная у_{ первого уравнения системы участвует как объясняющая переменная во втором уравнении системы, а зависимая переменная у2 второго уравнения рассматривается как объясняющая переменная в третьем уравнении, имеет матрицу коэффициентов при зависимых переменных.

которая представляет собой треугольную матрицу.

Если матрица В не является ни диагональной, ни треугольной, то модель представляет собой систему взаимозависимых одновременных уравнений (11.4). Так, например, для модели вида.

получим матрицу коэффициентов при зависимых переменных.

которая не является ни диагональной, ни треугольной.

Вывод. Знание вида системы одновременных линейных уравнений предопределяет метод нахождения коэффициентов а_у и 1>_у объясняющих и объясняемых переменных. Системы (11.2) и (11.3) решаются с использованием обычного МНК, рассмотренного в гл. 4. Далее в этой главе рассмотрены методы оценки коэффициентов системы взаимозависимых одновременных уравнений (11.4).

• [1] Далее мы рассмотрим первые два метода. Трехшаговый метод МНК подробно рассмотрен в книге: Бабешко Л. О. Основы эконометрического моделирования: учебник. М.: URSS, 2006. С. 301.