К. Метод грина

К.1. Формулы Грина.

Формулы Грина получают из теоремы Остроградского аусса.

где D_n — нормальная составляющая некоторого вектора D на поверхности S, ограничивающей объем V D_n направлена в сторону внешней нормали Я по отношению к объему V.

Положим D = о. F, где, а — произвольный скаляр, а вектор F представим как градиент некоторой скалярной функции F — grad tp Тогда

Подстановка в (K.1) дает.

Учтем, что проекция вектора D на направление нормали Я есть аду/дп. При этом.

Формулу (К.2) называют первой формулой Грина.

Поменяв местами скаляры, а и ф и вычтя одно равенство из другого, получим вторую формулу Грина.

К.2. Гармонические функции.

Функцию, непрерывную в рассматриваемой области вместе со своими производными до второго порядка включительно и удовлетворяющую уравнению Лапласа в этой области, называют гармонической. Центрально симметричная функция 1 /г, где г — расстояние от некоторой фиксированной точки объема (например, от точки А рис. К.1. а) до текущей точки В, является гармонической функцией. Для плос;

Рнс. К.1.

копараллельного поля гармоническая функция равна In г. Примем в формуле (К.З), что, а н ф — гармонические функции, а = 1 /г и функция ф выполняет роль потенциала. Тогда У²ф"0. У²а*0 и для поверхности, ограничивающей область V, имеет место соотношение.