Критерий минимального среднего риска

Сначала рассмотрим ситуации, возникающие при принятии решения — был ли сигнал. Для радиолокации это задача обнаружения. В этом примере рассмотрим упрощенную задачу оптимизации, для решения которой должен быть сформулирован критерий оптимальности, а также условия и средства достижения оптимума. При решении этой задачи существуют вероятности принятия ошибочных решений Дреш 0|5) и Дреш 5|0) и вероятности наличия сигнала P (S) и его отсутствия ДО).

Совершение ошибок с определенными вероятностями Дрсш os) P (S) и Дреш, ф) До) может приводить к некоторым потерям и поэтому следует учесть цену ошибок Ц _s_,₀ и Ц ₀__>1.

Суммарные потери вследствие ошибок называют средним риском.

Можно принять в качестве критерия оптимальности р —> min. Условия, в которых проводится оптимизация, должны задаваться с помощью описания сигнала, помехи и их смеси x (t) = S (t) + h (t). Например, вероятностное описание помехи может быть задано многомерной плотностью распределения вероятностей w (x_l9x₂, …|п). Аналогично можно задать вероятностное описание смеси сигнала и помехи w (x_]9 x₂₉…S, п). Наконец, средством достижения оптимума являются алгоритмы или схемы, их реализующие при обработке смеси х_]у х₂..с помощью которых принимается решение о наличии сигнала (в смеси с помехой) или только помехи.

Расширим описанный критерий применительно к системе передачи информации. Критерий оптимальности системы, с помощью которого обеспечивается наименьшее из возможных отличие оценки состояния источника сообщения а от его истинного состояния. Введем, как и раньше, функцию потерь, которые несет получатель сообщения в результате принятия решения Ц (я, а_}). Выбор функции Ц проводится, как правило, из эвристических соображений. Безусловно, ее значение минимально при совпадении оценки а с реализацией а (с фактически имевшим место состоянием источника сообщений). Так как функция Ц (я, а) случайная, при сравнении различных решающих правил целесообразно исходить из числовых характеристик функции потерь. Безусловно, простейшей из числовых характеристик является математическое ожидание, которое и является средним риском. Предполагая, что совместная функция распределения вероятностей Дя., а.) задана, средний риск определится соотношением:

Считаем, что источник имеет мощность алфавита К и функция распределения вероятностей Дя) состояний источника известна в месте приема. Тогда можно записать совместную функцию распределения, выразив ее через априорную и условную функции распределения вероятностей:

с учетом которой перепишем соотношение (2.2):

Обратим внимание на схожесть выражений (2.1) и (2.4). Сумму по j в выражении (2.4) называют условным риском:

Смысл выражения (2.5) для условного риска состоит в том, что определяем для выбранной реализации состояния источника сообщений а, каковы будут усредненные потери, просуммированные по всем значениям j возможных решений.

В частном случае значения среднего и условного риска, могут совпасть. Если будем оценивать качество функционирования системы передачи информации по величине среднего риска при известной априорной статистике источника информации, то, естественно, наилучшей из имеющихся систем будет та, у которой значение среднего риска минимально. Такая система в среднем является самой помехоустойчивой.

Если, исходя из критерия минимального среднего риска, поставить задачу создания оптимальной системы передачи информации от источника информации с заданной априорной статистикой по каналу передачи информации с заданными физическими параметрами, в котором на нелучшим образом сформированный радиосигнал воздействует помеха п с известной функцией плотности распределения вероятностей и<�л), чтобы в конечном счете в результате оптимального преобразования принятого сигнала S_lixпр обеспечить наименьшие средние потери, то эта обобщенная задача построения оптимальной системы передачи информации решения не имеет. Наиболее полно в статистической теории радиосвязи решена задача определения структурной схемы системы — задача синтеза и определения качества функционирования приемного устройства, обеспечивающего минимальныс средние потери за счет демодуляции и декодирования сигнала, который может быть и не наилучший для данного канала.